Sin ofender, pero será mucho más complicado de lo que crees... Ni siquiera estoy seguro de que esté familiarizado con la fijación de precios sin riesgo en primer lugar... Intentaré darle algunas pistas.
Esta seguridad se llama cesta opción. Además de la característica de multi-activos, hay mecanismos no triviales incrustados en el contrato que mencionas:
- un auto-llamada lo que significa que la redención anticipada puede ocurrir si se cumplen ciertas condiciones en fechas de observación discretas especificadas como parte del contrato.
- a compo/quanto característica. Debido a que los índices individuales no están denominados en la misma moneda, o bien se define la cesta $t$ -convirtiendo el valor de cada índice individual $t$ -Valor en una moneda de referencia fija (compo) o simplemente se ven estos valores de índices como 'números' simples y expresan su suma ponderada en una moneda de referencia fija independientemente de las denominaciones originales (quanto).
Olvidémonos de las características de auto-llamada y quanto/compo (ya que requerirían un puesto propio para ser abordadas correctamente) y enfoquémonos sólo en la parte de la canasta por el momento.
La omisión de estas características hace que el pago sea puramente europeo, es decir, sólo depende del valor terminal de la cesta ( $T$ -valor). Démoslo por $ \phi (B_T)$ donde en tu caso $ \phi $ parece que el pago de un put (o posiblemente un put de bajada y entrada no está claro en su explicación).
Asumamos también tasas deterministas y constantes en lo que sigue, junto con dividendos proporcionales para mayor claridad. Las categorías de modelos que enumero a continuación sólo reflejan mis propias opiniones, no existe tal distinción en la práctica.
Precio 101
Bajo la medida de riesgo neutral $ \mathbb {Q}$ el precio de una opción está dado por: $$ V_0 = e^{-r T} \mathbb {E}_0^ \mathbb {Q} \left [ \phi (B_T) \right ] $$ con aquí $$B_t = \frac {1}{N} \sum_ {i=1}^N S_t^{(i)} $$ el $t$ -Valor de la cesta, $r$ la tasa libre de riesgo (tasa a la que se puede depositar el dinero en el mercado monetario, aquí se puede tomar la curva de descuento del EONIA por ejemplo).
Matemáticamente, la medida de riesgo neutral $ \mathbb {Q}$ se define de tal manera que: $$ F(0,T) = \mathbb {E}_0^ \mathbb {Q}[ S_T ] $$ donde $F(0,T)$ es el precio a plazo a $T$ de la equidad $S$ como se ve de $t=0$ .
Hay mucha teoría escondida detrás de las últimas ecuaciones, le recomendaría que investigue eso usando un buen libro de referencia, por ejemplo. Shreve . Tal vez este El correo es un buen comienzo también. De todos modos, la consecuencia es que tu modelo debería eventualmente leer algo como:
$$ \frac {dS_t^{(i)}}{S_t^{(i)}} = \frac { \partial \ln F^{(i)}(0,t)}{ \partial t} dt + \sigma ^{(i)}(...) dW_t^{(i), \mathbb {Q}} $$ con una cierta estructura de dependencia entre los movimientos brownianos que impulsan los precios de los índices individuales.
Precio de la cesta 101
De lo anterior se ve que: $$ V_0 = e^{-rT} \int_0 ^ \infty \phi (B_T) p(B_T) dB_T $$ en otras palabras, si se conoce la distribución de probabilidad de $B_T$ estás acabado, ya que tú también puedes: (1) realizar una cuadratura numérica y obtener la muestra del precio de la opción (2) de la distribución terminal y calcular la expectativa utilizando simulaciones de Monte Carlo. (1) es cuando $p(B_T)$ se conoce en forma cerrada, (2) es más general.
Es sencillo mostrar que los dos primeros momentos de $B_T$ bajo $ \mathbb {Q}$ son: $$ B(0,T) = \mathbb {E}_0^ \mathbb {Q}[B_T] = \frac {1}{N} \sum_ {i=1}^N F^{(i)}(0,T) $$ (es decir, la suma de las expectativas) $$ \sigma ^2_B = \frac {1}{N^2} \left ( \sum_ {i=1}^N \sigma ^{2,(i)} + 2 \sum_ {j=1}^i \rho_ {ij} \sigma ^{(i)} \sigma ^{(j)} \right ) $$ (es decir, la suma de las covarianzas)
[Modelo Tipo 1]
Supongamos que $B_T$ es log-normal con los primeros momentos dados por lo anterior. Esto es un mero aproximación ya que sabemos que la suma de $N$ Las variables log-normales no son log-normales. Pero te permite calcular el precio de una cesta usando la fórmula BS: $$ V_0 = e^{-rT} ( B(0,T) N(d_+) - K N(d_-) ) $$ $$ d_ \pm = \frac { \ln\left ( \frac {B(0,T)}{K} \right ) \pm \frac {1}{2} \sigma ^2_B T}{ \sigma_B \sqrt {T}} $$
[Modelo Tipo 2]
Use un logaritmo normal desplazado para aproximarse $ \phi (B_T)$ o cualquier otra distribución conocida para el caso. La idea es que ya conoces los dos primeros momentos teóricos de $B_T$ y puedes escribir fácilmente el tercer y hasta el cuarto momento usando el cálculo estándar. Entonces se ajusta la distribución conocida a la distribución desconocida de $B_T$ haciendo coincidir sus momentos. Esto se conoce como moment-matching . En el caso de un shifted-lognormal, esto lleva a una fórmula de forma cerrada.
[Modelo Tipo 3]
Usted considera que la verdadera marginales de cada activo individual $S_t^{(i)}$ es decir. $$ p^{(i)}(x) = \frac {d F^{(i)}(x)}{d x} = \frac {d \mathbb {Q} \left (S_T^{(i)} \leq x \right )}{ dx} $$ donde $F^{(i)}$ es el $i^{th}$ función de distribución acumulativa de activos.
Puede inferir las anteriores probabilidades neutras de riesgo a partir de los precios de las opciones que figuran en la lista utilizando el Identidad de Breeden-Litzenberger ver aquí .
Ahora que ha identificado las distribuciones marginales de cada activo $S_t^{(i)}$ es necesario definir su estructura de dependencia para poder obtener eventualmente su distribución conjunta a partir de la cual se podrá inferir la distribución de $B_t$ desde entonces: $$ p(B_t \in A) = \int_ { \frac {1}{N} \sum_ {i=1}^N x_i \in A} p \left (x_1,...,x_N \right ) dx_1 ... dx_N $$ Puedes usar Cópulas para formar la distribución conjunta $F^B(x)$ desde el conocimiento de los marginales $F^{(i)}(x)$ .
[Modelo de cesta $ \infty $ ] Hay, por supuesto, muchas variaciones de los métodos anteriores
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Dependiendo de la elección de las cópulas utilizadas en el modelo 3 anterior, por ejemplo. El gaussiano es la elección habitual, pero se podría elegir cualquier otra estructura de dependencia. Una que tenga en cuenta el hecho de que las correlaciones explotan cuando el mercado se desploma parece una mejor opción. Veamos el problema del sesgo de la correlación.
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Podrías usar la volatilidad local + correlaciones instantáneas como reemplazo del acoplamiento de los marginales individuales con una cópula gaussiana. Elegir diferentes cópulas equivale entonces a definir diferentes estructuras de correlación local. Este es todavía un tema de investigación abierto, ver el trabajo de Langnau , Guyon etc. en esta área.
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Tengan cuidado con los temas de decorrelación y el famoso debate de correlación instantánea vs. terminal
[Detalles adicionales]
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Para fijar el precio en la función de llamada automática puede ser interesante establecer un modelo híbrido de tipos de interés de las acciones (es decir, trabajar con tipos de interés estocásticos).
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Por la misma razón, también podría ser útil considerar los dividendos discretos en efectivo en lugar de los dividendos proporcionales discretos.
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Para cotizar en la función de composición necesitarás saber los forwards de FX. Para cotizar en la característica de quanto necesitarás saber las volatilidades FX (ver ajuste de deriva de quanto) y a veces más dependiendo de si consideras la volatilidad de las acciones como un proceso estocástico o no.
[Su aplicación]
Puede que se pregunte a qué modelo corresponde su implementación. Asumiendo que usted usó las curvas apropiadas de acciones a plazo para construir las derivaciones de riesgo neutral de los índices individuales + usó un número de volatilidad implícita (es decir no las cantidades estimadas según la medida del mundo real $ \mathbb {P}$ como los rendimientos previstos y la volatilidad histórica, sino más bien las cantidades que se infieren de los precios de las opciones enumeradas en la $ \mathbb {Q}$ ), lo que hizo corresponde a la postulación de los marginales log-normales combinados a través de una cópula gaussiana.
Esto está entre el modelo 1 (que es peor que el tuyo porque asume $B_t$ está distribuido log-normalmente pero exhibe los primeros 2 momentos correctos) y el modelo 3 (que es mejor que el suyo porque usa los verdaderos maringales implícitos y no una suposición log-normal para los marginales).
Buena suerte.
