En un intertemporal (2-período) modelo de consumo, ¿por qué la tasa de inversión independiente del factor de descuento?

Question

En conferencia, mi profesor define los siguientes 2-periodo de modelo de consumo:

$c_i = $ el consumo en el período $i$.

$y =$ dotado de ingresos en el período 1.

$r = $ tasa de interés en perfecto mercados de crédito.

$h = $ dinero invertido en el período 1.

$w(h) = $ periodo de 2 retorno sobre el dinero invertido en el período 1.

$U(c_1, c_2) = u(c_1) + \beta u(c_2)$ un aditivamente separables función de utilidad con factor de descuento $\beta$.

Luego de la restricción presupuestaria, es $$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = y - h + \frac{w(h)}{1+r}$$ so the Lagrangian for utility maximization is $$L = u(c_1) + \beta u(c_2) + \lambda \left( y - h + \frac{w(h)}{1+r} - c_1 - \frac{c_2}{1+r} \right).$$ But then $h^*$ is determined entirely by one of the first order conditions, $$L_h = \frac{w'(h)}{1+r} - 1 = 0,$$ which is independent of $\beta$.

Mi profesor dijo que esto significa que el "paciente e impaciente a la gente a invertir la misma cantidad $h^*$, maximizar el valor presente neto de los ingresos". Matemáticamente, entiendo por qué esto tiene que ser cierto, pero intuitivamente no tiene sentido. Si $\beta = 0$, por ejemplo, no deberíamos invertir $h=0$ debido a que todo el consumo en el futuro proporciona 0 utilidad? ¿Por qué no razonamiento similar se aplican a muy pequeña $\beta$? Y ¿por qué hemos de estar tratando de maximizar el valor actual neto de los ingresos si los ingresos en el primer período, que proporciona más utilidad que la de los ingresos en el segundo período?

Answer 1

Esta idea es conocida como la de Fisher teorema de separación.

Sin la oportunidad de inversión para transferir $h$ unidades de valor en la actualidad en $w(h)$ unidades de valor futuro, el crédito perfecto de mercado nos da la restricción presupuestaria intertemporal de $$ c_1 + \frac{c_2}{1+r} = y, $$ que puede ser representada por una línea recta.

Sin el conocimiento de las preferencias del consumidor, no es posible decir cuál es el óptimo $(c_1,c_2)$ está aquí. Pero podemos decir con certeza, que el superior de la línea de presupuesto es, la más opciones que el consumidor tiene, y suponiendo monótona de las preferencias ella va a estar mejor.

Ahora la curva de rendimiento $w$ de la oportunidad de inversión nos permite cambiar el bsicas de la línea presupuestaria del mercado. A partir de la parte inferior derecha del punto de $(y,0)$ (es decir, no poner dinero en el mercado de crédito en todos) podemos llegar a los flujos de efectivo $(y-h, w(h))$.

Pero también poner un poco de dinero en el mercado de crédito (o préstamo), uno puede llegar a otros flujos de efectivo, así. Estas siempre de transferencia de $x$ unidades de valor presente en $x(1+r)$ unidades de valor futuro (en el caso de los préstamos $x$ es negativo), por lo que siempre paralelo al de la línea presupuestaria original, pero en lugar de partir de la $(y,0)$, empiezan desde el punto de $(y-h, w(h))$ donde $h$ es el tamaño de la inversión.

El óptimo tamaño de la inversión es la que alcanza el mayor presupuesto de la línea:

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La idea es que dado perfecta de los mercados de crédito, uno puede separar la conducta de consumo y comportamiento de la inversión. El más alto es el valor presente neto de un flujo de efectivo, el mejor de la I será una vez que ajuste el flujo de efectivo a través del mercado de crédito a mis preferencias intertemporales (aquí es donde $\beta$ asuntos). Por lo tanto necesito para tomar decisiones de inversión que maximice el valor presente de un flujo de efectivo, y no voy a tener nada más en cuenta, por ejemplo, el momento de los pagos.

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Un matemático que ella dice:

En el ejemplo anterior, dado el óptimo $h$ (suponiendo que es un punto interior) la línea de presupuesto es tangencial a la naranja de la curva que representa la posible inversión, por lo que tenemos $$ w'(h) = 1 + r, $$ el rendimiento marginal de la inversión y el mercado de crédito son iguales. Esto es equivalente a la ecuación final en su pregunta.

Answer 2

Bueno, acabo de editar mi respuesta mucho. He hecho fundamental un error, de $ L_ {h} $ surge un único valor de h, incluso cuando $ h $ está en otras condiciones de primer orden, que no cambia nada. Una vez que tengo claro es que no existe relación entre el $ \beta $ e $ h $, creo que sé lo que está pasando.

La razón por la que se ha invertido en $ h $ aunque $ \beta = 0 $ es debido a que h aumenta el valor actual neto, y esto permite aumentar el consumo en el primer periodo. Lo que pasa es $\beta=0 \ \Rightarrow \ \ c_{2}=0$. Pero vamos a ver esto más detenidamente.

Para hacer esto tenemos que agregar restricciones para el modelo de $c_{1},c_{2},h > 0$, por lo que el lagrangiano va a cambiar:

\begin{align} L= L = u(c_1) + \beta u(c_2) + \lambda_{1} \left( y - h + \frac{w(h)}{1+r} - c_1 - \frac{c_2}{1+r} \right) +\lambda_{2}c_{1}+\lambda_{3}c_{2}+\lambda_{4}h \end{align}

El nuevo primer fin de que las condiciones serán:

\begin{align} \frac{\partial L}{\partial c_{1}} = u^{ ' }(c_{1}) - \lambda_{1} + \lambda_{2} =0 \ (1)\\ \frac{\partial L}{\partial c_{2}} = \beta u^{ '}(c_{2}) - \frac{\lambda_{1}}{1+r} + \lambda_{3}=0 \ (2)\\ \frac{\partial L}{\partial h} =(\frac{ w^{ ' }(h)}{1+r} -1)\lambda_{1} + \lambda_{4}= 0 \ (3)\\ \end{align}

Pero tenemos la necesidad de las restricciones con desigualdades de las condiciones de holgura complementaria (podemos trabajar con el de Kuhn-Tucker de lagrange, pero que es sólo un caso especial de esta formulación general):

\begin{align} \lambda_{1}(y-h + \frac{ w(h)}{1+r} - \frac{ c_{2}}{1+r}-c_{1}) =0 \ (4) \\ \lambda_{2}(c_{1})=0 \ (5) \\ \lambda_{3}(c_{2})=0 \ (6) \\ \lambda_{4}(h)=0 \ (7) \\ \end{align}

Esto significa que la restricción o la $\lambda_{i}$ será 0. Para resolver estas ecuaciones tenemos que agotar todas las posibilidades, y a ver si podemos llegar a una solución que es consistente o descartar los casos que llevan a la contradicción. Im que va a mostrar que $\beta=0 \ \Rightarrow \ c_{2}=0, \ h=constant$. Usted puede buscar por ti mismo para comprobar si hay otras posibles soluciones.

Así que vamos a ver si $\beta=0 \ \Rightarrow \ c_{2}=0, \ h=constant$ es una solución. si $\beta=0$ lo lógico sería pensar que la solución óptima sería $c_{2}^{*}=0$, así que vamos a suponer que este es el caso, si no lo es, en algún punto de la primera de las condiciones de la orden debe demostrar que esto no es consistente.

También, esperamos que $c_{1}>0$ lo que implica por (5) $\lambda_{2}=0$. Podemos ver en (1) $\lambda_{1}>0$ debido a la suposición de $u(c_{i})>0$. Ahora, aquí viene la parte interesante si $\frac{w^{'}(h^{*})}{1+r}-1>0$ implica que $\lambda_{4}=0$ por (3). No siempre este sería el caso, por ejemplo supongamos que $w(h)=h(1+v)$ donde $v$ es el retorno de la inversión en $h$. $\frac{w^{'}(h^{*})}{1+r}-1$ serían $ \frac{v-r}{1+r}$. Si $v>r$ entonces $\frac{w^{'}(h^{*})}{1+r}-1>0$ e $\lambda_{4}=0$. Pero si $v<r$ entonces $\lambda_{4}>0$ por (3) y $h=0$ por (7).

Esto significa que la elección óptima de h depende de esta condición. Si la devolución de h es mayor que su costo de oportunidad (incluyendo r), entonces a $h>0$ y sería una constante.

Ahora vamos a descartar la posibilidad de que $c_{2}>0$. Si esto es cierto, $\lambda_{3}=0$, que (2) implica que $\lambda_{1}=0$, lo que implica por (1) $u^{'}(c_{1})=0$ que en general no es cierto. Así que nuestra suposición de que $c_{2}^{*}=0$ es en general correcta.

Así que todas estas observaciones nos llevan a las siguientes ecuaciones:

\begin{align} u^{ ' }(c_{1}) = \lambda_{1} \ (8)\\ \lambda_{1}=(1+r)\lambda_{3} \ (9)\\ \frac{ w^{ ' }(h)}{1+r} = 1 \ (10)\\ c_{1}^{*} = y-h + \frac{ w(h)}{1+r} - \frac{1}{1+r} (11) \end{align}

(8) es de (1), (9) en (2), (10) a partir de (3) y (11) de (4). A partir de este sistema de ecuaciones de las soluciones para todas las variables endógenas son obtenidos por $c_{1}^{*}$ es (11) y para $h$ es (10). Por lo $\beta=0 \ \Rightarrow \ c_{2}=0$. Por qué $h_{*}>0$? Esto sucede porque la inversión en $h$ aumenta el valor actual neto, por lo que se incrementa el consumo de hoy en día, por lo que invertir en h aumenta la utilidad en el período 1.Esto no depende de la $\beta$, porque es una monetario relación. Pero tenga en cuenta que si el retorno de $r$ es mayor thatn $h$, entonces podría suceder que $h^{*}=0$.