Demostrar la relación entre la utilidad esperada y la utilidad de la media

Question

Supongamos que $U(x)$ es una función cóncava y monótonamente creciente. Si sabemos que

$$U\left[E(p)\right] > U\left[E(q)\right]$$

donde $p$ y $q$ son distribuciones de probabilidad, ¿cómo podemos demostrar que

$$E(U_p) > E(U_q)$$

Answer 1

La conclusión que se quiere demostrar no siempre es cierta. Te daré una respuesta gráfica y matemática.

Análisis gráfico

Considere el ejemplo de la imagen siguiente:

Hay una lotería, con pagos esperados $z_1$ y $z_2$ y la media $E(z)$ . El valor esperado de esta lotería en términos de utilidad es $U[E(z)]$ .

Ahora, supongamos una segunda lotería, con mayor $z_1$ y más pequeño $z_2$ , tal que el valor esperado es el mismo, es decir $E(z)$ . El valor esperado de esta lotería es el mismo, $U[E(z)]$ . Sin embargo, debido a la menor varianza en la segunda lotería, el punto E de la segunda lotería está más cerca de D . (En el caso extremo de ausencia de incertidumbre, D y E coinciden). En otras palabras, $E[u(z)]$ en la lotería uno es menor que $E[u(z)]$ en la lotería dos, aunque paguen lo mismo de media.

La contradicción de su afirmación es inmediata. Tomemos la segunda lotería que acabamos de introducir, y disminuyamos $z_1$ por un pequeño $\epsilon$ . Ahora, el ingreso esperado de la lotería es marginalmente baja que $E(z)$ que es la relación opuesta a la de su pregunta. Está claro que hay un pequeño $\epsilon$ de manera que la relación entre $E[u(z)]$ en las dos loterías se mantiene como antes.

La prueba sigue la misma lógica para el caso de individuos amantes del riesgo (donde se prefiere la incertidumbre a la certeza y la función de utilidad es convexa).

En realidad, el único caso en el que su afirmación es válida es el de la neutralidad del riesgo. Esto también se puede ver trivialmente en el gráfico.

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Análisis matemático

En primer lugar, sabemos que $\dfrac{d U(x)}{d x}>0$ . Entonces, es cierto que:

$$ U(x_p + \pi)=E[U(x_p)] $$

$$ U(x_q + \phi)=E[U(x_q)] $$

donde el término dentro del paréntesis en el lado izquierdo son los equivalente de certeza . El signo de $\pi$ y $\phi$ dependen de la naturaleza de la función de utilidad. Hay tres casos:

• Aversión al riesgo

Si la utilidad es cóncava (es decir, el agente tiene aversión al riesgo), $\pi$ y $\rho$ son positivos. Por lo tanto:

$$ U(x_p) < U(x_p + \pi) = E[U(x_p)] $$

$$ U(x_q) < U(x_q + \phi) = E[U(x_q)] $$

Suponiendo que $U(x_p) > U(x_q)$ :

$$E[U(x_p)] = U(x_p + \pi) > U(x_p) > U(x_q) $$

Sin embargo, $E[U(x_q)] > U(x_q)$ . Es evidente que no se puede decir nada más sobre la relación entre $E[U(x_p)]$ y $E[U(x_q)]$ . El resultado que se quiere demostrar no es necesariamente válido en este caso.

Aceptación del riesgo

La prueba es exactamente la misma, pero invirtiendo los signos.

Neutralidad del riesgo

$\pi$ y $\phi$ son cero.

$$ U(x_p) = E[U(x_p)] $$

$$ U(x_q) = E[U(x_q)] $$

Suponiendo que $U(x_p) > U(x_q)$ implica que:

$$ E[U(x_p)] > E[U(x_q)] $$

Por lo tanto, en este caso la conclusión que se quiere demostrar es verdadera.