¿Son las preferencias Cobb-Douglas monótonas según la condición de utilidad marginal?

Question

Entiendo que las preferencias Cobb-Douglas representadas por $U(x,y)=x^ay^b$ son estrictamente monótonas, porque el aumento de al menos uno de los bienes del paquete aumenta la utilidad.

Sin embargo, otra definición de monotonicidad estricta dice que la utilidad marginal de cada bien debe ser estrictamente positiva. Este no es el caso de la función anterior en $(0,0)$ . ¿Hay alguna manera de resolver esto?

Answer 1

No cumplen ninguna de las dos condiciones. El aumento de la cantidad de un bien no tiene por qué aumentar la utilidad; $U(0,1)=0^a1^b=0=0^a2^b=U(0,2)$ .

La condición de que todas las utilidades marginales sean positivas es intrínsecamente problemática porque no sólo depende de las preferencias subyacentes. Por un lado, no es necesario que todas las representaciones de utilidad sean diferenciables. Pero incluso eso no es suficiente. Supongamos que hay un único bien y que más es mejor que menos. Se pueden representar estas preferencias mediante la función de utilidad dada por $U(x)=x$ . Ahora $U'(x)=1$ para todos $x$ por lo que se supone que estas preferencias son estrictamente monótonas. Pero ahora consideremos la función de utilidad dada por $V(x)=(x-1)^3$ . Si $x'>x$ entonces $V(x')>V(x)$ más es mejor y $V$ representa las mismas preferencias que $U$ . Pero $V'(1)=0$ por lo que las preferencias no son estrictamente monótonas según la definición en términos de utilidades marginales.

El problema que acabamos de mencionar es en realidad aún peor. Dejemos que $U$ sea una función de utilidad diferenciable en $\mathbb{R}_+^2$ con derivadas parciales estrictamente positivas en todas partes. Sea $(x^*,y^*)\gg0$ sea cualquier paquete de productos básicos. Definir $V$ por $$V(x,y)=\big(U(x,y)-U(x^*,y^*)\big)^3.$$ $V$ representa las mismas preferencias que $U$ pero las derivadas parciales en $(x^*,y^*)$ son cero.

Resumiendo: Que cada derivada parcial sea estrictamente positiva es una condición suficiente pero no necesaria para que una función diferenciable sea creciente en cada coordenada.

Otra cuestión es que no está del todo claro cómo se define la derivada en el límite del espacio de la mercancía. Hay diferentes nociones de diferenciabilidad que no tienen por qué ser equivalentes.

Answer 2

Las preferencias Cobb-Douglas son fuertemente monótonas sobre la parte positiva del espacio de cestas, en este caso $\mathbb{R}_{++}^2$ .

Las preferencias de Leontief son el ejemplo habitual de preferencias débilmente pero no fuertemente monótonas. La curva de indiferencia que pasa por (0,0) tiene forma de L tanto para éstas como para las preferencias Cobb-Douglas.

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Las preferencias de Cobb-Douglass y el límite del cuadrante positivo son problemáticos por otras razones, ya que otra representación de utilidad habitual es $$ U(x,y) = a \ln x + b \ln y $$ que es indefinido (sobre números reales) cuando $x$ o $y$ es 0.

Sin embargo, para el caso Cobb-Douglas se puede demostrar que la elección óptima del consumidor (suponiendo una renta positiva) nunca está en la frontera, ya que así se obtiene la menor utilidad posible. Después de esto, suponiendo que el consumidor hace elecciones óptimas, la función de utilidad es fuertemente monótona en el entorno local de su elección.

Answer 3

Cuando $\alpha,\beta\in(0,1)$ , tú no se puede utilizar la derivada para comprobar la monotonicidad - simplemente porque la derivada no existe en 0.

$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \alpha\frac{y^{\beta}}{x^{1-\alpha}}\rightarrow\infty$ como $x\rightarrow 0$ . Del mismo modo, para $MU_y$ no existe cuando $y\rightarrow 0$ .

Esto se ve fácilmente en la respuesta de @Giskard: como él señala correctamente, la transformación logarítmica de la CD-utilidad no está definida cuando cualquiera de las coordenadas es 0. En tales situaciones, se debe derivar utilizando los primeros principios.