Demostrando un proceso de martingala bajo el Riesgo de Neutro Medida

Question

Demostrar que para cualquier $\lambda \in \Re$, el proceso de $Y_{\lambda,t}$ se define como:

$$Y_{\lambda,t} = (S_t/S_0)^\lambda e^{-(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\sigma^2/2)t}$$

es una martingala bajo el riesgo de neutro medida $Q$.

Yo estaba pensando en que me podría aplicar el Lema de Ito, en el que muestran que la $\text{d}t$ plazo será de cero. Sin embargo, después de hacer las derivadas parciales, los términos no se cancelan uno al otro.

Realmente le agradezco toda la ayuda que pueda conseguir!

Answer 1

Definimos el proceso de $Y_t=Y(t,S_t)$ como sigue: $$Y_t=\left(\frac{S_t}{S_0}\right)^\lambda \exp\left\{-\left(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right\}$$

Método 1

Vamos a: $$\alpha=\lambda\left(r-(1-\lambda)\frac{\sigma^2}{2}\right)$$ Entonces por Itô el Lema: $$\text{d}Y_t=-\alpha Y_t\text{d}t+\frac{\lambda}{S_t}Y_t\text{d}S_t+\frac{1}{2}\frac{\lambda(\lambda-1)}{S_t^2}Y_t\text{d}\langle S_t,S_t\rangle$$ Asumiendo $S_t$ sigue un Movimiento Browniano Geométrico con la deriva $\mu$ y la difusión de la $\beta$: $$\text{d}S_t=\mu S_t\text{d}t+\beta S_t\text{d}W_t$$ Entonces: $$\text{d}Y_t=\left(\lambda\mu+\lambda(\lambda-1)\frac{\beta^2}{2}-\alpha\right)Y_t\text{d}t+\lambda\beta Y_t\text{d}W_t$$ Por tanto, para $Y_t$ a ser un (local) martingala necesitamos: $$\lambda\mu+\lambda(\lambda-1)\frac{\beta^2}{2}=r\lambda+\lambda(\lambda-1)\frac{\sigma^2}{2}$$ Esto es cierto si: $$\begin{align} \text{C.1}\quad\mu&=r\\ \text{C.2}\quad\beta&=\sigma \end{align}$$

Método 2

Tenga en cuenta también que, si las condiciones anteriores $\text{C.1}$ e $\text{C.2}$mantener: $$\begin{align} Y_t&=\left(\frac{S_t}{S_0}\right)^\lambda \exp\left\{-\left(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right\} \\ &=\exp\left\{\left(r\lambda-\lambda\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\lambda\sigma W_t\right\}\exp\left\{-\left(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right\} \\ &=\exp\left\{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}t+\lambda\sigma W_t\right\} \end{align}$$ Deje $0<s<t$. Entonces: $$\begin{align} \mathbb E^Q\left[Y(t,S_t)|\mathcal{F}_s\right]&= \exp\left\{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}s+\lambda\sigma W_s\right\}\mathbb E^Q\left[\exp\left\{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}(t-s)+\lambda\sigma (W_t-W_s)\right\}|\mathcal F_s\right] \\ &= \exp\left\{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}s+\lambda\sigma W_s\right\}\mathbb E^Q\left[\exp\left\{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}(t-s)+\lambda\sigma (W_t-W_s)\right\}\right] \\ &= \exp\left\{-\lambda^2\frac{\sigma^2}{2}s+\lambda\sigma W_s\right\} \\[7pt] &= Y_s \end{align}$$

Answer 2

$E_0[Y_{\lambda,t}] = 1\,\, \forall t$, por lo tanto $Y_t$ es una martingala.

Sugerencia: Buscar en la aritmética de los momentos de la sección de esta página de la wiki en la distribución logarítmico-normal