Cómo enumerar todas las posibles carteras con un objetivo de volatilidad?

Question

Digamos que tengo $n$ activos y sus rendimientos son almacenados en una matriz de $X \in \mathbb{R}^{m \times n}$ (es decir, he $m$ devuelve para cada uno de ellos.

La matriz de covarianza de los retornos es $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$.

I definir una cartera de $w \in \mathbb{R}^{n}$ y quiero que ese $\sum_{i=1}^n w_i=1$.

Mi objetivo es encontrar todas las carteras tal de que la volatilidad de la cartera es de algunos de destino $\sigma^*$.

Así que mi problema se parece a esto:

Encontrar todos los $w$ que: $\sqrt{w' \Sigma w}=\sigma^*$.

Creo que en la mayoría de los casos, habría una infinidad de soluciones tan largo como $\sigma^*$ fue elegido decentemente con respecto a los activos disponibles.

Qué algoritmo me podría ayudar a encontrar a todos ellos? Cómo sería el resultado ser representado? Estaba pensando que debería darme algún tipo de espacio vectorial.

Answer 1

Digamos que usted ha $N$ disponible de la cartera de los elementos, y usted tiene (arbitrariamente) elegido un peso de vectores $w^{(i_3,\dots,i_{N})}$ para $N-2$ de ellos. En este punto, la ecuación

$$w^{\prime}\Sigma w={\sigma^*}^2$$

se convierte en una simple ecuación cuadrática

$$a {w^{(1)}}^2 +b {w^{(1)}} +c =0$$

en la final de peso $w^{(1)}=1-w^{(2)}$ para el último resto de índices. Si alguno tiene raíces reales, entonces usted tiene uno de su familia de soluciones. Si no, entonces su elección inicial no fue un subespacio lineal de la intersección de la hipersuperficie de soluciones.

Esto es en realidad bastante sencillo de manejar, incluso simbólicamente, para $N=3$. Para dimensiones superiores, no estoy seguro de si se obtiene un buen matriz álgebra fórmula o no.

Alternativamente, usted puede tomar los vectores propios/de componentes principales $p_i$ de su matriz de correlación, y considerar el problema en ese espacio. Aquí, la varianza global va a ser

$$\sum_{i=1}^N a_i \nu_i^2$$

para autovalores $\nu_i$. Dado pesos en un subconjunto de $N-2$ de ellos (sin pérdida de generalidad, los índices de 3 a $N$), se puede tomar

$$\sum_{i=3}^N a_i \nu_i^2 = s^2$$

y entonces la solución de

$$a_1 \nu_1^2 + (1-a_1) \nu_2^2 = {\sigma^*}^2-s^2$$

para $a_1$, la cual se manifiesta en la restricción explícita ${\sigma^*}^2>s^2$ y resuelve a

$$a_1 = \frac{ {\sigma^*}^2-s^2 -\nu_2^2 }{(\nu_1^2 - \nu_2^2)}$$ .