Cómo demostrar la siguiente relación de Condicional Valor en Riesgo y el Valor en Riesgo?

Question

Cómo demostrar la siguiente relación de Condicional Valor-en-Riesgo $\text{CVaR}_{\alpha}(X)$ y el Valor en Riesgo $\text{VaR}_{\alpha}(X)$, \begin{equation} \text{CVaR}_{\alpha}(X) = \text{VaR}_{\alpha}(X)+\frac{1}{\alpha}E[(X-\text{VaR}_{\alpha}(X))^{+}]? \end{equation} Aquí están las definations de Valor en Riesgo Condicional y el Valor en Riesgo.

El valor en Riesgo

Supongamos $X$ es una variable aleatoria, el valor en riesgo (VaR) de $X$ a un nivel de confianza $1-\alpha$ donde $0<\alpha<1$ se define como \begin{equation} \text{VaR}_{\alpha}(X) := \inf\left\{x :Pr\{X>x\}\leq\alpha\right\}. \end{equation}

Condicional Valor-en-Riesgo

Basado en la definición de Valor en Riesgo, el Donditional Valor en Riesgo (CVaR) de $X$ a un nivel de confianza $1-\alpha$ (es decir, un nivel de significación del $\alpha$) se define como \begin{equation} \mathrm{CVaR}_{\alpha}(X) = \frac{1}{\alpha}\int_{0}^{\alpha}\mathrm{VaR}_{s}(X)ds. \end{equation}

Answer 1

Deje $F$ ser la función de distribución acumulativa de $X$. Suponemos que $F$ es continua. Entonces, para $x\ge 0$, \begin{align*} F^{-1}(x) = \inf\{s: F(s) \ge x \}. \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} \text{VaR}_{\alpha}(X) &= \inf\left\{x :1-F(x) \le \alpha\right\}\\ &=F^{-1}(1-\alpha). \end{align*} En consecuencia \begin{align*} E\Big(\big(X-\text{VaR}_{\alpha}(X)\big)^+\Big) &= \int_{-\infty}^{\infty} \Big(x-\text{VaR}_{\alpha}(X)\Big)^+ dF(x)\\ &=\int_{\text{VaR}_{\alpha}(X)}^{\infty} \Big(x-\text{VaR}_{\alpha}(X)\Big) dF(x)\\ &=\int_{1-\alpha}^1 \Big(F^{-1}(y)-\text{VaR}_{\alpha}(X)\Big) dy\\ &=\int_{1-\alpha}^1 F^{-1}(y) dy - \alpha \text{VaR}_{\alpha}(X) \\ &=\int_{1-\alpha}^1 \text{VaR}_{1-y}(X) dy - \alpha \text{VaR}_{\alpha}(X) \\ &=\int_0^{\alpha} \text{VaR}_{s}(X) ds - \alpha \text{VaR}_{\alpha}(X). \end{align*} Es decir, \begin{align*} \text{VaR}_{\alpha}(X)+\frac{1}{\alpha}E\Big(\big(X-\text{VaR}_{\alpha}(X)\big)^+\Big) &= \frac{1}{\alpha}\int_{0}^{\alpha}\text{VaR}_{s}(X)ds. \end{align*}

Answer 2

Un poco diferente de tomar aquí: