Puede una cartera de valor que consiste en el anhelo de un delta de acciones de acciones y cortocircuito de una opción de compra mayor que el precio de ejercicio?

Question

Mientras tratando de implementar Black-Scholes de cobertura delta de una opción call Europea usando Python, me llegó a través de los siguientes fenómenos:

Dado un portafolio que consiste en el anhelo de un delta de acciones de acciones y cortocircuito de una opción call, su valor nunca puede ser mayor que el precio de ejercicio de la opción de llamada.

¿Es esto cierto? Si sí, este puede ser probada?

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Para su referencia, la siguiente es mi código de Python:

# evolve stock prices under GBM SDE solution in N steps

# BS parameters
S0 = 120
K = 100
r = 0.05
d = 0
sigma = 0.2
T = 1

# number of discretization steps
N = 50

stock_prices = np.ndarray(shape = (50))
stock_prices[0] = S0

num_rows, num_cols = 5, 5
num_graphs = num_rows * num_cols

_, ax = plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize = (15,8))

for j in range(num_graphs):
    for i in range(1, N):
        stock_prices[i] = GBM_formula(stock_prices[i-1], K, r, d, sigma, T)

    ax[j // num_cols, j % num_cols].plot(stock_prices, label = 'Stock Prices')

    # Black-Scholes hedging strategy
    # hedging simulator
    # A delta-neutral portfolio (from option's seller point of view) consists of longing delta shares of stocks and shorting a call option.

    len_of_stock_prices = len(stock_prices)
    portfolio = [0] * len_of_stock_prices
    for i in range(len_of_stock_prices):
        portfolio[i] = Greeks(stock_prices[i], K, r, d, sigma, T).delta() * stock_prices[i] - Option(stock_prices[i], K, r, d, sigma, T).european_call()

    ax[j // num_cols, j % num_cols].plot(portfolio, label = 'Portfolio value')
    ax[j // num_cols, j % num_cols].legend()

El GBM_formula scripts que se pueden encontrar en mi Github https://github.com/hongwai1920/Implement-Option-Pricing-Model-using-Python/blob/master/scripts/GBM.py. Lo mismo va para Option y Greek https://github.com/hongwai1920/Implement-Option-Pricing-Model-using-Python/blob/master/scripts/Option.py

El siguiente contener 20 parcelas de los precios de las acciones y la correspondiente cartera de valores.

Answer 1

Cuando se mira en el Black Scholes fórmula parece sencilla: El precio de una opción es \begin{equation} \mathrm C(\mathrm S,\mathrm t)= \mathrm N(\mathrm d_1)\mathrm S - \mathrm N(\mathrm d_2) \mathrm K \mathrm e^{-rt} \label{eq:1} \end{equation}

El Delta es \begin{equation} \mathrm \Delta(\mathrm S,\mathrm t)= \mathrm N(\mathrm d_1) \label{eq:2} \end{equation}

Así el valor de su cartera es \begin{equation} S\Delta(\mathrm S,\mathrm t)\mathrm - C(\mathrm S,\mathrm t)\mathrm = \mathrm N(\mathrm d_2) \mathrm K \mathrm e^{-rt} \label{eq:3} \end{equation}

Que es menor que K como un término es un CDF y el otro de la exponencial de un número negativo, tanto menor que 1.