Transformación en Martingale

Question

Si $f$ es alguna función de la BV en $ \mathbb {R}$ y $dZ_t = f(W_t)dW_t + \mu_t dt$ ( $W_t$ es un $1$ -(Movimiento Browniano estándar dimensional), entonces, ¿qué elección de la función real valorada $F$ hace: \begin {ecuación} M_t:= Z_t e^{ \int_0 ^tF(Z_t)dt} \end {ecuación} en una martingala?

Creo que debería usar la regla del producto de Ito para resolver esto y el hecho de que el término $e^{ \int_0 ^tF(Z_t)dt}$ debe ser de B.V. (ya que es una integral de Riemman), sin embargo estoy confuso en los detalles (ya que soy completamente nuevo en este tipo de problemas).

Gracias por su ayuda a todos.

Answer 1

Como has adivinado correctamente, este tipo de preguntas se pueden responder utilizando el Lemma de Ito.Tenemos: \begin {Ecuación} d(M_t)= d(Z_t e^{ \int_0 ^tF(Z_u)du})=d(Z_t) e^{ \int_0 ^tF(Z_u)du}+Z_t d(e^{ \int_0 ^tF(Z_u)du})+d(Z_t)d(e^{ \int_0 ^tF(Z_u)du}) \end {Ecuación}

Para los dos primeros términos en R.H.S, tenemos: \begin {Edición} d(Z_t) e^{ \int_0 ^tF(Z_u)du} = (f(W_t)dW_t + \mu_t dt) e^{ \int_0 ^tF(Z_u)du} \end {Ecuación}

y \begin {Edición} Z_t d(e^{ \int_0 ^tF(Z_u)du}) = Z_t e^{ \int_0 ^tF(Z_u)du}F(Z_t)dt \end {Ecuación}

el tercer término no aporta nada.

Ahora, para que se cumpla la condición de martingala, iguala el coeficiente del término dependiente del tiempo a cero y obtenemos

\begin {Ecuación} F(Z_t) = - \mu_t /Z_t \end {Ecuación}

Answer 2

$F=0$ parece una buena opción.