¿Por qué la tasa de rendimiento de la acción es normalmente distribuida bajo el GBM?

Question

Supongamos el movimiento browniano geométrico, y tenemos $$dS_t= uS_tdt+\sigma S_tdz,$$ y $S_t$ sigue una distribución log-normal, pero ¿por qué $r_t$, la tasa de rendimiento continuamente compuesta, está normalmente distribuida?

Answer 1

La solución a la SDE anterior es (esto es bien conocido y puede verse aplicando el lema de Ito) $$ S_t = S_0 \exp\left( (u-\sigma^2/2) t + \sigma B_t \right), $$ Por lo tanto, el logaritmo de retorno se da por $$ \log(S_t/S_0) = (u-\sigma^2/2) t + \sigma B_t $$ y tiene una distribución normal como $B_t$, movimiento Browniano en el tiempo $t$, es normalmente distribuido. De hecho, la distribución de la expresión anterior es $N( (u-\sigma^2/2) t, t \sigma^2)$. Si asumimos que $t=1$ (un día o un año) entonces obtenemos $N( (u-\sigma^2/2),\sigma^2)$ y tenemos la interpretación de los parámetros en esta frecuencia.