Un segundo orden de la serie estacionaria es el coeficiente de correlación entre el valor dependiente y su lag.
Especificar
$$y_{t+1} = a+ \beta y_t + u_{t+1}\qquad u_{t+1}= \text{white noise}$$
El coeficiente de correlación entre el $y_{t+1}$ e $y_{t}$ se define como de costumbre
$$\rho_{(1)} = \frac{\text{Cov}(y_{t+1},y_{t})}{\sigma(y_{t+1})\sigma(y_t)}$$
$$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = E(y_{t+1}y_{t}) - E(y_{t+1})E(y_{t})$$
$$ = E\Big((a+\beta y_t+u_{t+1})y_{t}\Big) - E(y_{t+1})E(y_{t}) = aE(y_t)+\beta E\Big(y_t^2+u_{t+1}y_{t}\Big) - E(y_{t+1})E(y_{t})$$
Tenemos $E(u_{t+1}y_{t}) =0$. También, en virtud de primer orden de la estacionariedad tenemos $E(y_t)=E(y_{t+1}) = \frac{a}{1-\beta}$
El uso de estos tenemos
$$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \frac{a^2}{1-\beta}+\beta E(y_t^2) - \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$$
Por definición, la varianza es
$$\text{Var}(y_t) = E(y_t^2) - [E(y_t)]^2 = E(y_t^2) -\frac{a^2}{(1-\beta)^2}$$
$$\implies E(y_t^2) = \text{Var}(y_t) + \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$$
Sustituyendo,
$$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \frac{a^2}{1-\beta}+\beta \text{Var}(y_t) + \beta \frac{a^2}{(1-\beta)^2} - \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$$
Cosas cancelar y nos quedamos con
$$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \beta\text{Var}(y_t) $$
Bajo el supuesto de 2º orden estacionariedad, $\text{Var}(y_t) = \text{Var}(y_{t+1}) = \text{Var}(y)$
La inserción de todos en esto de vuelta para el coeficiente de correlación
$$\rho_{(1)} = \frac{\beta\text{Var}(y)}{\sigma(y)\sigma(y)} = \frac{\beta\text{Var}(y)}{\text{Var}(y)} = \beta. $$
Tenga en cuenta que la presencia de la constante de $a$ no afecta a la correlación sería el mismo si $a=0$. Esto es debido a que la ubicación de los parámetros no afectan de segundo orden de las estadísticas como la covarianza y la varianza.
