Utilizando notación matricial, indicar ganancias por $\Pi$, los ingresos por $R$, y las variables explicativas, por $\mathbf X$.
Suponiendo que un lineal de instalación, nos fijamos en
$$\mathbf \Pi = \mathbf X\mathbf a + \mathbf u \tag{1}$$
y
$$\mathbf R = \mathbf X \mathbf b + \mathbf v \tag{2}$$
Son las ganancias correlacionados con los Ingresos? Experiencia dicen que son. Así también existe una relación
$$\mathbf \Pi = \gamma \mathbf R + \mathbf \varepsilon \tag{3}$$
La inserción de $(2)$ a $(3)$ tenemos
$$\mathbf \Pi = \mathbf X(\gamma\mathbf b) + \gamma \mathbf v + \mathbf \varepsilon \tag{4}$$
Mirando a $(1)$ e $(4)$, tenemos la equivalencia
$$\mathbf a = \gamma \mathbf b \tag{5}$$
Vamos a obtener a través de la estimación? No tan fácilmente.
De mínimos cuadrados estimación nos dará, por $(1)$
$$ \mathbf {\hat a} = \left(\mathbf X'\mathbf X\right)^{-1}\mathbf X'\mathbf \Pi \tag{6}$$
y para $(2)$
$$\mathbf {\hat b} = \left(\mathbf X'\mathbf X\right)^{-1}\mathbf X'\mathbf R \tag{7}$$
Inserte $(3)$ a $(6)$ para obtener
$$\mathbf {\hat a} = \left(\mathbf X'\mathbf X\right)^{-1}\mathbf X'\left(\gamma \mathbf R + \mathbf \varepsilon\right) $$
$$\implies \mathbf {\hat a} = \gamma \mathbf {\hat b} + \left(\mathbf X'\mathbf X\right)^{-1}\mathbf X'\mathbf \varepsilon \tag{8}$$
La interesante realización viene en este punto: dado el postulado de la relación de $(1)$ es poco probable que las variables en $\mathbf X$ serán correlacionados con la de $\mathbf \varepsilon$, el término de error en $(3)$.
Esto significa que, incluso con una muestra de gran tamaño, el cálculo de los ratios individuales de los coeficientes de los vectores $\mathbf {\hat a},\;\mathbf {\hat b}$, vamos a no recuperarse $\gamma$, ya que el $\left(\mathbf X'\mathbf X\right)^{-1}\mathbf X'\mathbf \varepsilon$ no converge a cero.
