¿Por qué necesitamos a $dS_t=r S_tdt+\sigma S_tdW_t^Q$?

Question

Supongamos $S_t$ es el precio de las acciones y sigue la dinámica $$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t$$ . According to Girsanov, we can apply change of measure and obtain $dS_t=r S_tdt+\sigma S_tdW_t^Q$, this implies $\ln S_T = \ln S_0+rT+\sigma W_T^Q$, and therefore $$\mathbb{E}^Q[S_T]=S_0 e^{rT+\frac{1}{2}\sigma^2T}$$ , however $\mathbb{E}^Q[S_T]=S_0e^{rT}$ por el Teorema Fundamental de la valuación de Activos, a la cual se oponen. Por favor me corrija.

Answer 1

Esto no implica que se

$$\ln S_T=\ln S_0+rT+σW^Q_T,$$

esto implica

$$\ln S_T=\ln S_0+(r-0.5\sigma^2)T+σW^Q_T.$$

Buscar Ito lema.

Esto está cubierto en casi cualquier libro de matemáticas financieras, incluyendo mis propios Conceptos, etc.

Answer 2

Si $dS_t = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^Q$, $$S_T = S_0 \, e^{\sigma W_T^Q + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2\right) T}\, .$$

Por lo tanto $\mathbb{E}\left[ S_T \right] = S_0 \, e^{rT} \,.$