Cópula bivariante empírica cuando una variable está restringida

Question

Intento encontrar la cópula empírica que relaciona dos variables aleatorias $X$ y $Y$ . Dispongo de algunos datos pero son limitados respecto a la variable $Y$ y no estoy convencido de que sean datos suficientes y conduzcan a la cópula correcta.

La variable $Y$ puede alcanzar cualquier valor superior a 0 y me interesa la probabilidad

$$\mathbb{P}(X\leq u, Y\leq 1)=C(F_{X}(u),F_{Y}(1))$$ para diferentes $u$ . Tengo pares de datos para $Y\leq 2$ pero no hay pares de datos para $Y$ superior a 2. Como sólo me interesa la cópula que relaciona la probabilidad de $\mathbb{P}(Y\leq 1)$ y $\mathbb{P}(X\leq u)$ y no le interesan las probabilidades de $Y$ mayor que 2, ¿puedo utilizar los datos con valores de $Y$ hasta 2 y no mayores o necesito datos para todos los valores posibles de $Y$ ?

Llevo unas semanas atascado en esto y me vendría muy bien un poco de ayuda.

Answer 1

Para la cópula empírica entre $X$ y $Y$ así como para la (estimación de la) probabilidad $P(X\leq u, Y\leq 1)$ necesitaría supuestos adicionales antes de restringir a $Y\leq 1$ o $Y\leq 2$ . Pero se podría calcular $P(X\leq u\mid Y\leq 1)$ es decir, la distribución empírica de $X$ condicionado a $Y\leq 1$ , sólo utilizando datos con $Y\leq 1$ . Esto es proporcional a $P(X\leq u, Y\leq 1)$ y a veces todo lo que uno necesita.