Por qué se define así la beta del CAPM - Cobertura beta

Question

Supongamos que tengo dos índices de renta variable X e Y. Supongamos que están correlacionados negativamente con cierto apalancamiento. Quiero cubrir X con Y.

He visto muchas formas de calcular una beta para describir la relación

$(X_t)$ y $(Y_t)$ son estrictamente positivos. $t\in\{0,1,..,n\}$ diario,

$D^X_t = X_t - X_{t-1}$ (serie de diferencias)

$R^X_t = \frac{X_t-X_{t-1}}{X_{t-1}}$ (serie de retorno)

Digamos que hoy es t=n, observo todos los valores pasados hasta t=0. El objetivo de mi cobertura diaria es encontrar en el momento n la beta, la cantidad de Y a comprar por cada dólar de X, tal que $E[D^X_{n+1}-\beta_{n+1} D^Y_{n+1} ] =0 $

La Beta del CAPM podría definirse como: $\beta_t=\frac{{cov}(R_t^X,R_t^Y)}{ V[R_t^Y]}$ (que podría estimar de muchas maneras, ignorémoslo aquí a menos que alguien tenga un método mejor que un filtro de Kalman).

Mis preguntas son:

1. podría definir $\beta_t=\bigg (\frac{{cov}(R_t^X,R_t^Y)}{ V[R_t^X]} \bigg )^{-1} $

   $\frac{{cov}(R_t^X,R_t^Y)}{ V[R_t^X]}$ tiene más sentido para mí porque hago el mercado de X, pienso en términos de movimiento de X.

2. podría definir $\beta_t = \frac{{cov}(D_t^X,D_t^Y)}{ V[D_t^Y]}$ ? Si lo estimo dinámicamente con un filtro de kalman por ejemplo entiendo que la serie $D$ y, por tanto, esta beta depende en gran medida del nivel de X e Y, mientras que $R$ se reescala.

Podría ampliar mis estudios pero no quiero perder el 90% de la audiencia potencial ni sesgar la respuesta.

Answer 1

En un marco CAPM, la Beta de Y con respecto a X = Correlación * Volatilidad de Y/Volatilidad de X.

Que alternativamente es Covarianza / X Volatilidad

Así que a (1) anterior, es su última formulación no la recíproca.

Para (2), se podrían utilizar los precios en lugar de los rendimientos, pero esto puede ser problemático dependiendo de lo que se quiera medir. Por lo general, se asume que los rendimientos de los precios de los activos se distribuyen normalmente/lognormalmente (¡o alguna distribución que al menos se parezca a la de Gauss!), razón por la cual las betas de los activos utilizan por defecto los rendimientos en lugar de los precios.

Simplemente hay que preguntarse cuál de "un dólar sobre el precio de la acción de Apple" o "un 5% sobre el precio de la acción de Apple" es la métrica adecuada en el caso que estamos viendo.

Supongamos que usted se interesa por los efectos de los precios del petróleo en la balanza comercial de Japón. Japón es un gran importador de energía. Si importa X millones de barriles al día, el efecto de la importación será proporcional a la variación absoluta del precio. No importa si el petróleo pasa de 30->40 o de 130-140 dólares el barril. El petróleo es una fracción pequeña pero significativa del comercio internacional de Japón, por lo que el movimiento de +10 no va a cambiar mucho el valor total del comercio de Japón. Por lo tanto, lo más apropiado es el +10 en lugar del 33%-vs-13%.

Y a veces una mezcla de su "D" y "R" tiene más sentido. Supongamos que está interesado en el impacto del mercado de bonos en el mercado de valores. En este caso, un movimiento de +/-X puntos básicos en los rendimientos de los bonos se asocia con un cambio de Y% en los precios de las acciones. Con 13 tr de bonos de rendimiento negativo en el mundo, cada vez que se mueven a través de cero, usar un cambio de % en los rendimientos implicaría un impacto infinito en las acciones. A la inversa, un descenso histórico del 6% al 5% implicaría un impacto muy pequeño, cuando en realidad fue significativo. Por el contrario, estos impactos no suman ni restan un punto al índice S&P; pero lo mueven de forma logarítmica.

En el fondo, el CAPM no es más que un término pomposo (los economistas tienen este pecado a raudales como tribu, lo siento) para la regresión ;-) Así que todas las advertencias habituales sobre estacionariedad, heteroskedicidad, etc., también se aplican aquí. Al igual que con cualquier problema de regresión, sólo se necesita una razón racional y, con suerte, intuitiva para elegir cualquier conjunto de insumos sobre las alternativas relacionadas.