Solución numérica a la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes - Opción Digital

Question

Aquí hay una pregunta relativamente simple sobre la fijación de precios de las PDE.

Supongamos que estamos dentro del marco BS y además que la tasa de interés es cero. Se sabe que el precio $V(t,S_t)$ del digital es $\Phi(d2)$.

Ahora consideremos la PDE de BS y resolvámosla hacia atrás utilizando el método explícito con las condiciones de contorno directas:

$$V(T,S_T) = pago(S_T)$$ $$V(t,0) =0, \qquad \text{ para } 0\leq t \leq T$$ $$V(t,S_t) = 1, \qquad \text{ para } S_t \text{ grande}$$

La solución numérica arroja un precio lo suficientemente cercano a BS, pero cuando grafiqué el precio contra el spot en tiempo cero obtengo esta imagen, donde la solución de la PDE es la que está en negro y la roja es una aproximación numérica a la SDE:

Algunos detalles: (Volatilidad $=25\%$, Strike $=100$, r $=0$)

Pregunta: ¿Cómo se puede explicar matemáticamente el comportamiento escalonado de la PDE, en lugar de uno casi estrictamente creciente?

Supongo que se debe a que el pago es discontinuo (también la fijación de precios de otros derivados que eran continuos funcionó perfectamente), pero me gustaría tener una explicación matemática semi-rigurosa.

Gracias de antemano.

Answer 1

En lugar de pensar en los pasos, piensa en las regiones por partes donde tu valor es constante.

Cuando se utiliza el esquema explícito, el valor de la opción en el tiempo cero en cualquier precio de la acción para tu opción digital simple es básicamente solo una función de cuáles nodos antecedentes (teniendo en cuenta el retroceso en el tiempo) estaban por encima o por debajo del precio de ejercicio.

Pequeñas modificaciones en el precio inicial de la acción no afectan el valor de los nodos antecedentes, lo que no produce cambios en el valor de la opción.

Vale la pena señalar que un esquema implícito no tiene el mismo problema, debido a su mayor "suavizado" - permitiendo que los puntos vecinos en un determinado paso de tiempo influyan en los valores de opción mutuamente. Esto está relacionado con, pero no es lo mismo que, la mayor estabilidad de los esquemas implícitos bajo proporciones de cuadrícula alteradas. Los esquemas implícitos son conocidos por manejar pagos discontinuos mucho mejor que los esquemas explícitos, y también mejor que los esquemas Crank-Nicolson.

Answer 2

Ha habido muchos estudios sobre el análisis de la convergencia de los árboles binomiales para las opciones europeas. Puedes considerar un árbol como un método explícito de diferencias finitas. Las conclusiones son que la ubicación de los nodos cercanos al precio de ejercicio determina el error. Entonces, si $\kappa$ es la fracción de la distancia entre el precio de ejercicio y el nodo inferior en comparación con la distancia entre ellos, obtienes una expansión asintótica cuyos coeficientes son funciones de $\kappa$ (ver Diener-Diener).

Puedes evitar este problema adaptando el árbol al precio de ejercicio de manera que $\kappa$ sea constante. Lo mismo ocurre con las EDP.

Answer 3

Denotamos por $V_{i}^{n}=V(\tau_n,S_i)$ el valor de una llamada digital en el tiempo $\tau_n$ cuando el precio de la acción es $S_i$. Usamos $N_S+1$ puntos para el precio de la acción, y $N_{\tau}+1$ puntos para la madurez. Usando una cuadrícula uniforme de $(S, \tau)$ con ${{S}_{\min }}={{t}_{\min }}=0$ se puede construir como \begin{align} & {{S}_{i}}=i\times ds\quad \quad ,\quad \quad i=0\,,\,1\,,\,2\,,\,\ldots \,,\,{{N}_{S}} \\ & {{\tau }_{n}}=n\times d\tau \quad \,\,\,\,,\quad \quad n=0\,,\,1\,,\,2\,,\,\ldots \,,\,{{N}_{\tau}} \\ \end{align} Donde los incrementos son $ds=S_{max}/N_S$ y $d\tau=\tau_{max}/N_{\tau}$. Las derivadas de primer orden aproximadas con diferencias centrales para un punto interior $(S_i,\tau_n)$ \begin{align} & \frac{\partial V}{\partial S}({{S}_{i}},{{\tau}_{n}})=\frac{V_{i+1}^{n}-V_{i-1}^{n}}{2ds} \\ & \frac{\partial V}{\partial t}({{S}_{i}},{{\tau}_{n}})=\frac{V_{i}^{n+1}-V_{i}^{n}}{dt},\\ \end{align} y las derivadas de segundo orden se aproximan por $$\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}({{S}_{i}},{{\tau }_{n}})=\frac{V_{i+1}^{n}-2V_{i}^{n}+V_{i-1}^{n}}{ds{{\,}^{2}}}$$ así, tenemos $$V_{i}^{n+1}=V_{i}^{n}+\,\left[ \frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{i}^{2}}(V_{i+1}^{n}-2V_{i}^{n}+V_{i-1}^{n}) \right.\left. +\frac{r}{2}i(V_{i+1}^{n}-V_{i-1}^{n})-r\,V_{i}^{n} \right]d\tau,$$

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Supusiste $r=0$, entonces $$V_{i}^{n+1}=V_{i}^{n}+\,\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{i}^{2}}(V_{i+1}^{n}-2V_{i}^{n}+V_{i-1}^{n})$$ De hecho, sin cambiar ninguna variable, conviertes la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes en una ecuación de calor.

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Continuamos con nuestra discusión!. Sea \begin{align} & a=1-({{\sigma }^{2}}{{i}^{2}}+r)dt \\ & b=\frac{1}{2}\,\,\,\,\,({{\sigma }^{2}}{{i}^{2}}-ri)dt \\ & c=\frac{1}{2}\,\,\,\,\,({{\sigma }^{2}}{{i}^{2}}+ri)dt \\ \end{align} entonces $$V_{i}^{n+1}=aV_{i}^{n}+bV_{i-1}^{n}+cV_{i+1}^{n} $$

Condiciones del problema de estabilidad

1. Para $i=1,2,...,N_S$ , $a>0$, entonces $$ dt<\frac{1}{\sigma^2\,N_S^{\,2}+r}$$
2. Para $i=1,2,...,N_S$ , $b>0$, entonces $\sigma^2>r$
3. $a+b+c<1$