El volumen de negocios como una restricción blanda para la optimización del portafolio

Question

Estoy usando cvxpy a hacer una simple optimización de cartera.

He implementado el siguiente código ficticio

from cvxpy import *
import numpy as np

np.random.seed(1)
n = 10

Sigma = np.random.randn(n, n) 
Sigma = Sigma.T.dot(Sigma)

orig_weight = [0.15,0.25,0.15,0.05,0.20,0,0.1,0,0.1,0]
w = Variable(n)

mu = np.abs(np.random.randn(n, 1))
ret = mu.T*w

lambda_ = Parameter(sign='positive')
lambda_ = 5

risk = quad_form(w, Sigma)

constraints = [sum_entries(w) == 1, w >= 0, sum_entries(abs(w-orig_weight)) <= 0.750]

prob = Problem(Maximize(ret - lambda_ * risk), constraints)

prob.solve()

print 'Solver Status : ',prob.status

print('Weights opt :', w.value)

Estoy limitando en ser completamente invertido, de largo y tienen una cifra de negocio <= 75%. Sin embargo, me gustaría utilizar la rotación de un "suave" de la restricción en el sentido de que el solucionador se utilizan como poco como sea posible, pero tanto como sea necesario, en la actualidad el solucionador casi totalmente el máximo de la cifra de negocios.

Yo, básicamente, quiero algo como esto que es convexo y no violar las reglas DCP

sum_entries(abs(w-orig_weight)) >= 0.05

Supongo que esto debe establecer un umbral mínimo (5%) y, a continuación, use la cantidad de rotación hasta que encuentra una solución factible.

Alguien alguna sugerencia de cómo esto podría ser solucionado o re-escrito en una forma convexa?

EDIT: solución Intermedia

from cvxpy import *
import numpy as np

np.random.seed(1)
n = 10

Sigma = np.random.randn(n, n) 
Sigma = Sigma.T.dot(Sigma)
w = Variable(n)

mu = np.abs(np.random.randn(n, 1))
ret = mu.T*w

risk = quad_form(w, Sigma)

orig_weight = [0.15,0.2,0.2,0.2,0.2,0.05,0.0,0.0,0.0,0.0]

min_weight = [0.35,0.0,0.0,0.0,0.0,0,0.0,0,0.0,0.0]
max_weight = [0.35,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0]

lambda_ret = Parameter(sign='positive')
lambda_ret = 5

lambda_risk = Parameter(sign='positive')
lambda_risk = 1

penalty = Parameter(sign='positive')
penalty = 100

penalized = True

if penalized == True:
    print '-------------- RELAXED ------------------'
    constraints = [sum_entries(w) == 1, w >= 0, w >= min_weight, w <= max_weight]
    prob = Problem(Maximize(lambda_ * ret - lambda_ * risk - penalty * max_entries(sum_entries(abs(w-orig_weight)))-0.01), constraints)
else:
    print '--------------   HARD  ------------------'
    constraints = [sum_entries(w) == 1, w >= 0, w >= min_weight, w <= max_weight, sum_entries(abs(w-orig_weight)) <= 0.40]
    prob = Problem(Maximize(lambda_ret * ret - lambda_risk * risk ),constraints)

prob.solve()

print 'Solver Status : ',prob.status
print('Weights opt :', w.value)

all_in = []
for i in range(n):
    all_in.append(np.abs(w.value[i][0] - orig_weight[i]))

print 'Turnover : ', sum(all_in)

El código anterior se fuerza un aumento específico en peso para el elemento[0], aquí +20%, con el fin de mantener la suma() =1 restricción que tiene que ser compensado por un -20% de disminución, por lo tanto sé que se necesita un mínimo de 40% del volumen de negocios que hacen que, si se ejecuta el código con penalizado = False <= 0.4 tiene que ser codificado, algo más pequeño que el que va a fracasar. La penalizado = True caso se encuentra el mínimo requerido volumen de ventas del 40% y resolver la optimización. Lo que no he averiguado todavía es, cómo puedo ajustar un umbral mínimo en el relajado caso, es decir, hacer al menos el 45% (o más si es necesario).

He encontrado algunas explicaciones en torno al problema de Multi-Período en el Comercio a través de la Optimización Convexa por Boyd et al., en el capítulo 4.6, página 37.

Boyd Papel

Answer 1

Me voy a centrar en las matemáticas, en lugar de Python porque eso es lo que estoy más familiarizado con el! El volumen de negocios de restricción se utiliza a menudo como forma para manejar los costos de transacción cuando la gente no está seguro de que el valor exacto de los costos de transacción. Que da una idea de cómo la rotación puede ser modelado como un costo de la transacción en su lugar. A continuación, puede configurar un costo de transacción función de penalización que debe ser capaz de satisfacer a los criterios de uso tanto de rotación como sea posible sin máximo de la cifra de negocios.

Usted puede modelar el costo de transacción explícitamente por la separación de un stock de posición en tres componentes $w_0$, $w^+$, y $w^-$ - el peso inicial, la compra de peso y las ventas de peso. La posición final de peso $w = w_0 + w^+ + w^-$. Esta es la variante más simple de un modelo lineal por tramos modelo de costos de transacción (véase a Gran Escala de la Optimización de Cartera con un modelo Lineal por Tramos Los Costos de transacción por Potaptchik, Tuncel, Wolkowicz enlace de un ejemplo más complejo).

El uso de esta formulación significa que usted tiene que volver a escribir la función de riesgos, restricciones y límites. Por ejemplo, usted debe ajustar la posición individual de los límites para la compra y venta de componentes: $0 < = w^+ <= u – w_0$, e $-w_0 <= w^- <=0$. Usted también tendría que añadir las restricciones para asegurar que $w = w_0 + w^+ + w^-$ para cada posición.

Si utiliza el modelo lineal por tramos enfoque, un volumen de negocios de restricciones podrían ser implementados como $\Sigma_i w_i^+ - \Sigma_i w_i^- <= t$. Sin embargo, siguiendo con el enfoque de costos de transacción, que podría proporcionar la posición de cada uno con un costo, $c$, y habría que reemplazar su "ret" con $\Sigma_i w_{0,i}\mu_i + \Sigma_i w_i^+ (\mu_i -c_i) + \Sigma_i w_i^-(\mu_i+c_i)$. Este es el mismo que el de su retorno de la función, sino que incluye un costo de transacción de la función de penalidad $\Sigma_i w_i^+c_i - \Sigma_i w_i^- c_i$. Que la función de la sanción de las transacciones más grandes. Su único problema será decidir qué valor de $c$ a utilizar en el modelo. Escoger el derecho de $c$ debe asegurarse de que el volumen de negocios de la restricción es mínima, pero esto puede ser bastante complicado en la práctica y el ensayo y error puede ser el mejor enfoque.

El uso de $c$ le da un lineal de la función de penalización, pero también se podría extender este método a funciones más complicadas de $w^+$ e $w^-$ a restringir el volumen de negocios. Por ejemplo, podría utilizar una función cuadrática de las posiciones. Que refleje tanto la incertidumbre en el costo de la negociación y el hecho de que podría costar más el comercio más grande de la posición de los tamaños.