Encontrar el óptimo de funciones de demanda para el capital y el trabajo para esta empresa

Question

Estoy tratando de resolver esta cuestión, que establece:

Supongamos que un maximizar las ganancias productor tiene una función de producción descrito por Q = K^3/4 L^1/4 y se enfrenta al general isocost línea (TC = rK + wL).

Encontrar el óptimo de funciones de demanda de capital y mano de obra para esta empresa.

Aquí está lo que he hecho y saber:

He resuelto para el MP1(mano de obra) y MP2(capital): MP1 = 1/4 (K^3/4 * L^-3/4 ) MP2 = 3/4 (K^-1/4 * L^1/4 )

También sé que MP1 / MP2 = w / r.

Alguien puede señalar una sugerencia para solucionar de K y L, el óptimo de funciones de demanda?

Gracias

Answer 1

Creo que usted puede necesitar algo más de información para encontrar una expresión para L (o K). A partir de lo que tenemos, sabemos MP1/MP2 = w/r, y que nos permite decir K = aL. Ahora nos fijamos en nuestro beneficio, lo que queremos maximizar. Sustituyendo K = aL en Q - TC, obtenemos L(pb - 4w), donde $b = pa^{3/4}$, y p es el precio. Mientras p > 4r/3, se puede aumentar la ganancia para siempre por el aumento de L, siempre y cuando el aumento de K de forma proporcional. Esto supone que p es fijo, y la mano de obra y capital son infinitamente disponible en r y w. Por eso nuestros restricción tiene que venir de. (A menos que se nos da simplemente un valor fijo para Q, en cuyo caso se resuelve a partir de K = aL.) Si tenemos una curva de demanda, y somos el único proveedor, podemos aumentar L y K hasta Q se vuelve tal que p = 4r/3, o contratamos a la gente hasta que no podamos llegar aL unidades de capital, o aumentamos K hasta que no puede conseguir K/a unidades de trabajo. Si no somos el único proveedor, podemos jugar a un juego con el resto de proveedores y revisión Q nosotros mismos. Pero no creo que pueda maximizar su beneficio, sin que la información adicional, debido a que la forma funcional de Q junto con el hecho de que L y K están relacionadas linealmente significa Q está linealmente relacionada con L o K, y la función de costo es así.

Answer 2

Una empresa requiere de capital $K\in\mathbb{R}_+$ y la mano de obra $L\in\mathbb{R}_+$ para producir el bien final $Q$. La tecnología es de Cobb-Douglas tipo de $Q:(K,L)\mapsto K^{\alpha}L^{1-\alpha}$ aquí $\alpha=0.75$. Denotar la capital de alquiler por $r$ y el salario del trabajador por $w$. Los costos de producción son el dado por $C:(K,L)\mapsto rK+wL$. En lugar de la maximización de las ganancias, la empresa quiere minimizar los costos para producir una determinada cantidad $\bar{Q}>0$ (buscar la dualidad de $\min-\max$ problemas en productor de la teoría). Terminamos con el siguiente programa \begin{align} \min_{K,L}~C(K,L)\quad\text{s.t.}~~Q(K,L)\geq\bar{Q}. \end{align}
Que es \begin{align} \min_{K,L}~(rK+wL)\quad\text{s.t.}~~K^{.75}L^{.25}\geq\bar{Q}. \end{align} Configurar el lagragian \begin{align} \mathcal{L}=rK+wL+\lambda(\bar{Q}-K^{.75}L^{.25}). \end{align} Tenga en cuenta que la restricción es vinculante (¿por Qué? Mira que también!) Los pabellones de conveniencia están dadas por \begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K}=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\lambda}=0 \end{align} Resolver para $K$ e $L$.