Problema de coincidencia en tiempo continuo

Question

Vamos a dividir cada período en $n$ intervalos. Hay un continuum $u$ de desempleados y $v$ de las vacantes. Durante cada intervalo, hay un total de $X/n$ ofertas de trabajo. Eso significa que cada uno de los desempleados recibe una oferta de trabajo con una probabilidad de $X/(nu)$ (suponiendo que $n$ es finalmente tan pequeño que la posibilidad de tener varias ofertas de empleo para la misma persona se pondrá a cero).

Individuo de Número de ofertas de trabajo - individual - en el intervalo se distribuye $Binomial(k, n, \frac{X}{un})$. Dejando $n\to\infty$, la distribución en el tiempo continuo de la analógica converge a $Poisson(k, \frac{X}{u})$.

Estoy interesado en la probabilidad de $x$ de los individuos conseguir al menos un intervalo de trabajos durante todo el intervalo. Que es $(1 - Binomial(0, n, \frac{X}{nu}))^x$:

$$ (1 - (1 - \frac{X}{un})^n)^x $$

Si no me equivoco, el tiempo continuo de la analógica es

$$ (1 - e^\frac{-X}{u})^x$$

Es eso correcto? La combinación de la exponencial y la función de la energía que me está haciendo bastante incómodo.

Answer 1

Una alternativa de aproximación de enfoque se puede utilizar como medida de verificación se podría decir que hay un $X$ ofertas de trabajo en total y $u$ desempleados.

Por lo que la probabilidad de que un individuo no consigue una oferta de trabajo particular es$\left(1-\dfrac{1}{u}\right)$, por lo que la probabilidad de que el individuo no recibe ninguna oferta de trabajo es $\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^X$ es $\left(\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^u\right)^{x/u} \approx e^{-X/u}$ tanto como uno podría esperar de una distribución de Poisson. Usted tiene un error en el signo de $e^{-X/u}$.

Que hace que la probabilidad de que el individuo hace una oferta de empleo acerca de la $1-e^{-X/u}$. Esto hace que el número esperado de personas que reciben ofertas de trabajo acerca de la $u(1-e^{-X/u})$.

La probabilidad de que $y$ a las personas a conseguir ofertas de trabajo (en lugar de $x$ como ya se ha usado $X$) es aproximadamente el binomio $\displaystyle {y \choose u}\left(1-e^{-X/u}\right)^y e^{-(u-y)X/u}$ y o si quería una aproximación de Poisson a esto, a continuación, acerca de la $\dfrac{e^{-u\left(1-e^{-X/u}\right)}u^y\left(1-e^{-X/u}\right)^y}{y!}$ y se podría aplicar más de aproximaciones a este pero no iba a conseguir mucho más ordenado

Answer 2

Sí, es correcto. Usted puede, por ejemplo, escribir una expansión de Taylor: \begin{align*} [1-(1-\frac{x}{un})^n]^x & = [1-e^{n ln(1-\frac{x}{un})}]^x \\ & = [1-e^{n (-\frac{x}{un} + o(\frac{1}{n}))}]^x \\ & = [1-e^{-\frac{x}{u} + o(1)}]^x \\ & \sim [1-e^{-\frac{x}{u}}]^x \text{ when } n \rightarrow +\infty \end{align*}