¿Notación? Inversa de la función de demanda

Question

Estoy buscando a través de Las decisiones de inversión de las empresas de S.J. Nickell, y me he encontrado con una notación que no entiendo bien. Cualquier aclaración sería muy bienvenida.

Nickell parte de la base de que las empresas se enfrentan a una curva de demanda descendente:

$$ z\{p(t)\}\beta(t) \textrm{ where } z_p<0. $$ Dice:

La curva de demanda tiene, pues, una forma constante definida por $z\{p(t)\}$ y se desplaza hacia arriba y hacia abajo mediante la función temporal $\beta(t)$ .

Así que $z$ es algún tipo de forma funcional cuya primera derivada en $p$ es negativo.

Ahora viene la parte que me confunde. Supone que las empresas ajustan la producción en función de la demanda.

Como resultado tenemos $$ z\{p(t)\}\beta(t) = F\{K(t),L(t)\}. $$ Resolviendo para el precio de salida obtenemos $$ p(t) = p[F\{K(t), L(t)\}/\beta(t)]$$

¿Cómo ha conseguido esto? $F$ es igual a la cantidad demandada. Bien, es la suposición. Pero, ¿por qué $p$ la inversa de $z$ ?

Luego deriva estas derivadas parciales, que también me confunden porque trae $z$ de nuevo:

$$ \frac{\partial p}{\partial K} = \frac{F_K}{z_p \beta(t)} \quad\textrm{and}\quad \frac{\partial p}{\partial L} = \frac{F_L}{z_p \beta(t)}.$$

Como he dicho, cualquier ayuda es bienvenida. Creo que lo que más me confunde es la parte de la función inversa. Puedo ver cómo obtiene las derivadas parciales de otra manera.

Gracias.

Answer 1

Como resultado tenemos $$ z\{p(t)\}\beta(t) = F\{K(t),L(t)\}. $$ Resolviendo para el precio de salida obtenemos $$ p(t) = p[F\{K(t), L(t)\}/\beta(t)]$$

Estoy bastante seguro de que lo que se quiere decir aquí es que hay una $p(t)$ trayectoria para la que $$ z\{p(t)\} = F\{K(t),L(t)\} / \beta(t) $$ (ver primera ecuación)

Dada la función $z$ Esto depende sólo del lado derecho de la ecuación, por lo que denotamos la trayectoria $p(t)$ en función de esto, es decir $$ p(t) = p[F\{K(t), L(t)\}/\beta(t)]$$ Una notación diferente sería $$ p(t) = z^{-1}\left( F\{K(t), L(t)\}/\beta(t) \right). $$ Esta segunda notación es útil porque todas las derivadas parciales se derivan de esta notación y de la regla de la cadena.