Modelo de tipo de cambio y Martingales

Question

En la explicación del modelo de tipo de cambio,

"...Si bajo la medida doméstica de riesgo neutral $Q_d$ El proceso $X(t)$ satisface

$\displaystyle \frac{dX(t)}{X(t)}=\sigma dZ_d(t)$

Desde $Z_d(t)$ es $Q_d$ -Movimiento browniano, por lo que $X(t)$ es un $Q_d$ -martingale".

¿Cómo funciona esta última línea? No veo qué teorema se ha aplicado

Answer 1

La mayoría de las veces, cuando se tiene una SDE simple sin deriva, es una martingala porque el propio proceso de Wiener es una martingala. En tu ejemplo, tienes una constante con el proceso de Wiener, por lo tanto todo el proceso debe ser también una martingala porque la expectativa es claramente X(t).

Sin embargo, no podemos concluir que una SDE sin rumbo sea siempre una martingala. Hay casos en los que una SDE sin deriva es una martingala local o una supermartingala. Lo que podemos concluir en tu ejemplo es que es una martingala obvia.

Answer 2

La solución de su SDE se conoce como la Exponencial Estocástica:

$$X_t=X_0e^{\sigma Z_t-\sigma^2t^2/2}$$

(Se puede comprobar esta solución aplicando Ito a la función $f(t,Z_t)=\ln X_t$ .)

Tomando la expectativa de $X_t$ para comprobar su propiedad de martingala, ya que $Z_t\sim N(0,t)$ entonces $E(e^{\sigma Z_t})=e^{\sigma^2t^2/2}$ :

$$E(X_t)=E(X_0e^{\sigma Z_t-\sigma^2t^2/2})=X_0e^{-\sigma^2t^2}E(e^{\sigma Z_t})=X_0$$

Por lo tanto, $X_t$ es una martingala para $Z_t$ Movimiento browniano (y los movimientos brownianos son martingalas).