Propiedad Supermartingale de Put Americano Perpetuo

Question

El proceso de precio descontado de una opción de venta americana (perpetua) tiene una parte $dt$ en él, que es negativa si el precio en el tiempo $t$ es menor que el precio de ejercicio óptimo. Esto es lo único que arrastra el proceso descontado hacia abajo a medida que pasa el tiempo y hace que todo el proceso sea un supermartingala. Por lo tanto, cuando no se ejerce la opción en su tiempo de parada, tiende a disminuir. Sin embargo, parece que no entiendo la intuición detrás de esto, ya que el proceso solo disminuye cuando el precio es menor que el precio de ejercicio óptimo y ¿no debería tener un precio de acciones más bajo hacer que la opción sea más valiosa? Entonces, ¿en qué me estoy equivocando?

Answer 1

No diría que no hay conexión con lo que dices, pero aquí estaría mi punto de vista.

Explicación intuitiva

Si esperas un retraso $h$ antes de ejercer, pierdes tu derecho de ejercicio entre $t$ y $t+h$, lo que conduce a una pérdida de valor.

Prueba de la propiedad de supermartingala

(para aplicarlo en tu caso: $\phi_t=e^{-rt}(L-S_t)^+$)

Si denotamos $\phi$ el obstáculo, y $\text{Am}(\phi)$ la opción perpetua americana sobre el pago de $\phi$, asumiendo que existe una estrategia óptima $\tau^\star(t)$ para ejercer la opción sabiendo que compras la opción en el momento $t$. Las estrategias permitidas son tiempos de parada (lo que significa que puedes tomar tu decisión solo según lo que sabes en ese momento) mayores o iguales que $t$.

Obtienes:

$$\text{Am}(\phi)_t=\mathbb{E}(\phi_{\tau^{\star}(t)}|\mathcal{F}_t)=\sup_{\tau\geq t}\mathbb{E}(\phi_\tau|\mathcal{F}_t)$$

Estableciendo $\tau=\tau^\star(t+h)$ en el lado derecho te lleva a: $$\text{Am}(\phi)_t\geq \mathbb{E}(\phi_{\tau^\star(t+h)}|\mathcal{F}_t)$$

usando la propiedad de la torre de la expectativa condicional: $$\mathbb{E}(\phi_{\tau^\star(t+h)}|\mathcal{F}_t)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(\phi_{\tau^\star(t+h)}|\mathcal{F}_{t+h})|\mathcal{F}_t)$$

usando la primera igualdad en $t+h$ en lugar de en $t$: $$\mathbb{E}(\phi_{\tau^\star(t+h)}|\mathcal{F}_{t+h})=\text{Am}(\phi)_{t+h}$$

al insertar esto en la desigualdad anterior te lleva a:

$$\text{Am}(\phi)_t\geq \mathbb{E}(\text{Am}(\phi)_{t+h}|\mathcal{F}_t)$$

Answer 2

Solo para agregar un argumento intuitivo a la respuesta ya muy buena de @MJ73550:

Cuando se tiene una opción americana - o cualquier opción que pueda ser ejercida por el titular en ese sentido -, la pregunta que te haces antes de ejercerla es si los ingresos por el ejercicio anticipado (es decir, ejercer ahora para obtener el valor intrínseco de la opción) son mayores que lo que podrías esperar ganar si decidieras ejercer tu derecho más tarde (es decir, el valor de continuación).

En cualquier momento, el valor de tu opción es siempre el máximo entre lo que recibirías en los 2 escenarios anteriores, ya que te gustaría ejercerla cuando sea óptimo para ti.

Para simplificar, asume que solo puedes ejercer en fechas fijas separadas por un intervalo $h$ (como típicamente sería el caso para una opción bermudeña). Entonces, en cualquier momento $t$, tienes, para una opción que vence en $T$:

$ \text{Am}(t,T) = \max( (S_t - K)^+, \mathbb{E}[\text{Am}(t+h, T)] ) \geq \mathbb{E}[\text{Am}(t+h, T)]$

donde

• $\text{Am}(t,T)$ - valor actual de la opción en $t$
• $(S_t - K)^+$ - valor intrínseco = ingresos si decidieras ejercer en $t$
• $\mathbb{E}[\text{Am}(t+h, T)]$ - lo que puedes esperar ganar si esperas hasta $t+h$ para tomar tu decisión.

de ahí la idea de submartingala, o como ilustra la respuesta de @MJ73550: la mejor estrategia de ejercicio anticipado sobre $[t,T]$ siempre es al menos tan buena como la mejor estrategia de ejercicio anticipado sobre $[t+h,T]$ ya que el primer intervalo incluye al segundo.

Algunas observaciones:

• lo anterior es válido para cualquier $h>0$, particularmente $h \rightarrow 0^+$;
• en $t=T$, el valor de continuación y de ejercicio son iguales, ya que no queda elección;
• este proceso de comparar los valores de continuación e intrínseco es exactamente lo que haces al utilizar árboles o Monte Carlo de Mínimos Cuadrados para evaluar opciones con posibilidad de ejercicio anticipado.

Answer 3

Ok, así que he estado pensando en ello, y tal vez he encontrado la solución, pero por favor corríjame si estoy equivocado. Supongo que el proceso de descuento disminuye, porque cuando el tenedor de la opción no la ejerce, siempre y cuando el precio $S(t)$ sea inferior al precio de ejercicio óptimo $L^*$ está perdiendo efectivo por no invertir en el mercado de dinero?