¿Cuál es la medida martingala requisito cuando se $\mu(t,S(t)) = \mu(t)$?

Question

Se sabe que si el numeraire es la cuenta bancaria, entonces la martingala medida está determinada por el hecho de que cada activo tiene $r$ como local de su tasa de retorno.

Sin embargo, la tasa de retorno es el "multiplicador" del precio de las acciones en la dt plazo de la SDE. Es decir, si $$dS_t = S_t\alpha dt + S_t\sigma dW$$ a continuación, $\alpha$ es la tasa local de retorno, el cual debe ser igual a $r$ bajo la martingala medida.

Sin embargo, imagino que si en virtud de la $P$-medida, $S_t$ satisfecho el SDE $$dS_t = \alpha dt + \sigma dW,$$ en este caso, ¿cuál es el equivalente de martingala medida requisito?

Answer 1

Deje $B_t$ el valor del $t$-valor de un libres de riesgo de mercado de dinero de la cuenta en la que 1 unidad de la moneda ha sido invertido en el tiempo $t=0$. Tenemos $B_t = e^{rt}$ donde $B_t$ soluciona $$dB_t = B_trdt,\quad B_0=1 \tag{0}$$

Si $S_t$ representa el $t$-valor de un negociables activo y, a continuación, en la ausencia de oportunidad de arbitraje debemos tener (teorema fundamental de la valuación de activos): $$\frac{S_t}{B_t} \text{ is a } \Bbb{Q} \text{-martingale}$$ en otras palabras $$\begin{align} d\left(\frac{S_t}{B_t}\right) &= \frac{dS_t}{B_t} - \frac{S_t}{B_t^2} dB_t + 0 \tag{Itô} \\ &= \frac{1}{B_t} \left( dS_t - S_t r dt \right) \tag{using %#%#%} \\ &= \dots dW_t^\Bbb{Q} \tag{1} \end{align}$$ por la martingala teorema de representación.

Tenga en cuenta que para $(0)$ a, es necesario tener: $(1)$$ Este es el equivalente de martingala medir el requisito de que usted está buscando.

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Ahora, para llegar a ese $$ dS_t = \color{blue}{rS_t} dt + \dots dW_t^\Bbb{Q} $deriva en$rS_t$, no deberá usar el mismo Girsanov núcleo dependiendo de si$\Bbb{Q}$sigue una GBM o un ABM en$S_t$, pero esa es otra cuestión.

En el primer caso tendrás: $\Bbb{P}$$con$$dS_t = \alpha S_t dt + \sigma S_t dW_t^\Bbb{P} \to dS_t = \color{blue}{rS_t} dt + \sigma S_t dW_t^\Bbb{Q}$$En el segundo:$$\left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{P}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}\left[ -\lambda W_t^\Bbb{P}\right], \quad \lambda=\frac{\alpha-r}{\sigma}$$con$$dS_t = \alpha dt + \sigma dW_t^\Bbb{P} \to dS_t = \color{blue}{rS_t} dt + \sigma dW_t^\Bbb{Q}$$ Ver este documento si desea más detalles matemáticos.