Dos documentos - dos soluciones diferentes del proceso Ornstein-Uhlenbeck

Question

Bernal 2016 dice que la solución de $$ dr_{t}=\lambda*(\mu-r_{t})*dt+\sigma dW_{t} \qquad (eq.1) $$

es igual a $$ r_{t}=r_0*exp(-\lambda t)+\mu(1-exp(-\lambda t))+\sigma \int_{0}^{t} exp(-\lambda t)dW_{t} \qquad (eq.2)\\$$

lo que lleva a seguir el esquema de Euler Maruyana: $$ r_{t+\delta t}=r_t+\lambda (\mu -r_t)\delta t+\sigma \sqrt{\delta t} *\mathcal{N}(0,1) \qquad (eq.3)\\$$

En el otro lado este documento nos dice que la solución de la SDE debe ser $$ S_{i+1}=S_i*exp(-\lambda \delta)+\mu(1-exp(-\lambda t))+\sigma \sqrt{\frac{(1-exp(-2\lambda t)}{2\lambda}}*\mathcal{N}(0,1) \qquad (eq.4)\\$$

Bernal utiliza $(eq.3)$ para la calibración mientras que GE y Berg utilice $(eq.4)$ .

¿Por qué la diferencia? El método de Bernals tiene todo el sentido para mí.

Answer 1

Obsérvese que la integral Ito de un integrando determinista $f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ se distribuye normalmente

\begin {Ecuación} \int_0 ^t f(u) \mathrm {d}W_u \sim \mathcal {N} \left ( 0, \int_0 ^t f^2(u) \mathrm {d}u \right ). \end {Ecuación}

En su caso, tenemos $f(t) = e^{-\lambda t}$ y por lo tanto

\begin {Ecuación} \int_0 ^t f^2(u) \mathrm {d}u = \frac {1}{2 \lambda } \left ( 1 - e^{-2 \lambda t} \right ). \end {Ecuación}

En cuanto a la simulación, el primer enfoque simula la SDE mientras que el segundo utiliza la distribución conocida de su solución. El primer enfoque converge a medida que el número de pasos de tiempo se hace pequeño, mientras que en el segundo, se puede simular directamente el punto de tiempo de interés sin puntos de muestra intermedios.