SDE Jump-Diffusion

Question

Si se combina el proceso de Poisson compuesto con el movimiento browniano se obtiene el caso más simple de un salto de difusión. Definamos $$X_t = \mu t + \sigma W_t + J_t$$ donde $W_t$ es un proceso Wiener y $J_t$ es un proceso de Poisson compuesto. ¿En qué sentido es posible escribir una SDE para representar la dinámica de $X_t$ ¿Cuál es el significado de $dJ_t$ ?

Answer 1

Dejemos que $$ J_t = \sum_{i=1}^{N_t} Z_i$$ ser un proceso de Poisson compuesto con $(T_n)_{n\geq 1}$ siendo los tiempos de salto para el proceso de Poisson $(N_t)_{t\geq 0}$ y $(Z_i)_{i\geq 1}$ secuencia de variables i.i.d. independientes de $(N_t)_{t\geq 0}$ .

Necesitamos la integral estocástica contra $dJ_t$ con el fin de dar sentido a $dJ_t$ .

Para un tamaño de salto discreto tenemos $$\delta J_t = J_t-J_{t^-} = Z_{N_t}(N_t - N_{t^-}) = Z_{N_t}\delta N_t$$

Entonces, para un proceso $(u_s)_{s\geq 0}$ que tenemos:

$$ \int_0^t u_s dJ_s = \int_0^t u_s Z_{N_s}dN_s = \sum_{i=1}^{N_t} u_{T_i} Z_i$$

En particular, para $u$ se ajusta a la constante $1$ tenemos:

$$ \int_0^t dJ_s = J_t$$

Answer 2

$dJ_{t}$ puede entenderse como una medida de Steljes , cuando se quieren definir los saltos utilizando la función de variación acotada , pero se puede entender simplemente como $J_{t}-J_{t-}$

Estos procesos pertenecen a una clase más general de procesos llamada Procesos de recaudación a través de la representación de Lévy-Khintchine donde se puede definir claramente la parte del salto, se puede encontrar una mejor expansión de la fórmula de Ito y la forma exponencial basada en la fórula de Doleans-Dade.

También hay modelos de saltos más complejos como Modelo Bates o modelo Kou doblemente exponencial