Demuestra que la condición de mariposa es siempre mayor que cero

Question

Necesito demostrar que la condición de mariposa es siempre positiva bajo el teorema de no arbitraje. Estamos construyendo una mariposa larga utilizando opciones de compra europeas

C(T,K+K) - 2C(K) + C(T,K-K) > 0 where K < K

He conseguido demostrar para mayor o igual a cero utilizando los siguientes pasos:

El límite inferior de una opción de compra europea de una acción que no paga dividendos es el siguiente:

C(T,K) >= S(0) - Ke^-rT
K = strike price, T = time to maturity, r = interest rate, S(0) = stock price at time=0

Por lo tanto, para las opciones en la mariposa esto se evalúa como

C(T,K+K) >= S(0) - (K+K)e^-rT  --- (Eq:1)
C(T,K) >= S(0) - (K)e^-rT --- (Eq:2)
C(T,K-K) >= S(0) - (K-K)e^-rT --- (Eq:3)

Haciendo (Eq:1) - 2*(Eq:2) + (Eq:3) Me sale lo siguiente

C(T,K+K) - 2C(T,K) + C(T,K-K) >= 0

Sin embargo, ¿cómo puedo ir más allá y demostrar que la desigualdad anterior no es igual a cero bajo ningún arbitraje.

Answer 1

Por lo general, no se puede simplemente restar dos desigualdades como hiciste en tu intento. Aquí hay dos enfoques para resolver tu problema:

Argumento de no arbitraje

Supongamos que el valor inicial del diferencial Butterfly era estrictamente negativo $V_0 < 0$ . La compra del diferencial de la mariposa produciría, por tanto, un flujo de caja estrictamente positivo en el momento $t = 0$ . A continuación, observe que el resultado final $V_T$ es no negativo. Es cero cuando $S_T \in [0, K - \Delta] \cup [K + \Delta, \infty)$ y estrictamente positivo cuando $S_T \in (K - \Delta, K + \Delta)$ . Se trata de un almuerzo gratuito (se obtiene dinero en efectivo ahora y se tiene un pago no negativo en el futuro) y, por lo tanto, contradice la ausencia de arbitraje.

Supongamos ahora que $V_0 = 0$ . En este caso, el flujo de caja inicial de la compra del spread mariposa es cero. En el futuro tendrá un flujo de caja no negativo. Si este flujo de caja tiene una probabilidad de ocurrencia distinta de cero, entonces esto representa una lotería gratuita y de nuevo contradice el no arbitraje.

Densidad de precios del Estado

A partir del resultado de Breeden-Litzenberger, sabemos que

\begin{equation} C_0(K) = e^{-r T} \int_K^\infty (x - K) f(x) \mathrm{d}x \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{\partial^2 C_0}{\partial K^2} = e^{-r T} f(K). \end{equation}

Es decir, la segunda derivada compuesta del precio de la opción de compra con respecto al precio de ejercicio es igual a la densidad de probabilidad neutra del riesgo. En $f$ para que sea válida, exigimos que la segunda derivada sea no negativa en todas partes. Consideremos ahora una aproximación por diferencias finitas:

\begin{equation} \frac{\partial^2 C_0}{\partial K^2} = \lim_{\Delta \downarrow 0} \frac{C_0(K - \Delta) - 2 C_0(K) + C_0(K + \Delta)}{\Delta^2}. \end{equation}

El numerador es sólo la dispersión de la mariposa y se deduce que también tiene que ser no negativo. El argumento para que sea estrictamente positivo depende, de nuevo, de si se permiten regiones con masa de probabilidad cero o no.

Answer 2

Es un resultado sin modelo. El pago es no negativo en todas partes y positivo en alguna.

Como es no negativo en todas partes, si su precio fuera negativo habría un claro arbitraje.

Tenemos que mostrarnos positivos. Suponemos que hay una probabilidad positiva de que la acción caiga en la región en la que el pago es positivo.

Ahora bien, si el contrato vale cero, entonces tiene valor cero hoy, y valor positivo con probabilidad positiva y negativa en ninguna parte, por lo que define un arbitraje.

Por lo tanto, la ausencia de arbitraje implica que el valor es positivo hoy en día, siempre que exista una probabilidad positiva de llegar a la zona en la que la retribución es positiva.

(para más información, véase mi libro "Conceptos", etc.)

Answer 3

Creo que la prueba debería ser así:

El pago de la opción mariposa es siempre no negativo. Véase el gráfico en wikipedia .

La condición de no arbitraje equivale a que la densidad de probabilidad sea siempre no negativa para cualquier estado.

Por lo tanto, el pago esperado (descontado), es decir, la prima de la opción, debe ser no negativa.

Answer 4

Alternativamente, observe que la gamma dual (véase aquí ) para una llamada de vainilla viene dada por \begin{align*} \frac{\partial^2 C}{\partial K^2} = e^{-r(T-t)}\frac{\phi(d_1)}{K\sigma \sqrt{T-t}}, \end{align*} donde $\phi$ es la función de densidad de una variable aleatoria normal estándar. Es decir, $C(K)$ en función de $K$ es estrictamente convexo. Entonces \begin{align*} C(K) &= C\left(\frac{K+\Delta K + K-\Delta K}{2}\right)\\ &<\frac{1}{2}\Big(C(K+\Delta K)+ C(K-\Delta K)\Big). \end{align*} En otras palabras, \begin{align*} C(K+\Delta K)-2C(K)+ C(K-\Delta K)>0 \end{align*}