La intuición detrás de precios modelado por el Movimiento Browniano Geométrico

Question

Supongamos que tenemos un modelo de precios de $P_t$ a evolucionar por

$$\frac{dP_t}{P_t}=\mu dt+\sigma dW_t$$

para $\mu\in\mathbb{R}$ e $\sigma>0$. La única solución fuerte para esta difusión es

$$P_t=P_0e^{(\mu-\sigma^2/2)t+\sigma W_t}$$

Mi pregunta es la siguiente:

Por la ley del logaritmo iterado, uno puede mostrar que como $t\to\infty$, el término deriva $(\mu-\sigma^2/2)t$ domina el stochatic parte $\sigma W_t$, e $P_t$ va a la $\pm \infty$ dependiendo del signo de la deriva. Estoy interesado en la intuición detrás de la siguiente hecho: Si la volatilidad aumenta a $\sigma'>\sigma$, $(\mu-(\sigma')^2/2)<(\mu-\sigma^2/2)$ así que para $t$ grandes, $P_t(\sigma')\leq P_t(\sigma)$ sistemáticamente. Entiendo que esto es debido a ito corrección, pero me pregunto en un nivel intuitivo por qué si la volatilidad es mayor, los precios y el valor de un proyecto tienden a ser más pequeños. Para tener una referencia de lo que estoy hablando, usted puede ver esta foto donde muestro dos geométrico browniano de las mociones (mismo sorteo de $W_t$) con el negro tener una mayor volatilidad:

Answer 1

Debido a la volatilidad de arrastre.

En términos muy simples, asumir tres períodos, $t=t_0, t_1, t_2$, y un proceso que se inicia con el valor de $100$ a $t_0$ y que puede subir o bajar con la misma probabilidad cuando la transición de un periodo al siguiente. Supongamos el mismo cambio esperado para cada período, por ejemplo, $1\%$, pero con diferentes arriba y abajo se mueve: en el primer caso, el proceso disminuye por $2\%$ o aumenta por $4\%$; en el segundo caso, se disminuye por $3\%$ o aumenta por $5\%$. Ahora, supongamos que el proceso va hacia abajo de un período y el otro (el orden, obviamente, no importa). En el primer caso, el valor final del proceso será $$0.98\times1.04=1.0192,$$ mientras que en el segundo caso sería $$0.97\times1.05=1.0185.$$ Por lo tanto el proceso con una mayor volatilidad (la 2) termina con un valor más bajo que el de uno con menor volatilidad. Dicho de otra manera, la volatilidad tiene un costo.

Otra forma de ver esto matemáticamente, es a través de logarightmic de retorno, que es la adecuada volver a mirar para el registro de una distribución normal de los procesos. El logarítmica de retorno de un activo $S$ y los tiempos de $s<t$es: $$\ln\frac{S_t}{S_s}=\ln\left(1+\frac{S_t-S_s}{S_s}\right)=\ln(1+x)$$ El retorno sobre el $[s,t]$ de activos $S$ será en $[-1;\infty)$, sin embargo, la derivada del logaritmo durante ese intervalo es: $$\frac{\partial}{\partial x}\ln (1+x)=\frac{1}{1+x}$$ lo que demuestra que la contribución marginal de rentabilidad negativa ($x<0$) es mayor que la contribución de los retornos positivos ($x>0$): $$\ln(1+x)+\ln(1-x)\leq0$$