Opción de fijación de precios utilizando el modelo CCR - derivación problema

Question

Yo estoy viendo la siguiente derivación de una Opción Call de precio utilizando el CRR modelo. No es una pieza de la derivación que no puedo entender.

\begin{align} C_0 &= e^{-rT} \sum_{i=0}^{N} (S_{0}\,u^{N-i}\,d^{i} - K)^{+} \binom {N}{i} q^{N-i}(1-q)^{i}\\ &= e^{-rN \Delta t} \sum_{i=a}^{N} (S_{0}\,u^{N-i}\,d^{i} - K) \binom {N}{i} q^{N-i}(1-q)^{i}\\ &= S_0 \sum_{i=a}^{N} \binom {N}{i} (u\,q\,e^{-r \Delta t})^{N-i}\, (d\,e^{-r \Delta t}\,(1- q))^{i} - Ke^{-rT} \sum_{i=a}^{N} \binom {N}{i} q^{N-i} (1-q)^{i}\\ &= S_0 \sum_{i=a}^{N} \binom {N}{i} \overline{q}^{N-i}\, (1 - \overline{q})^{i} - Ke^{-rT} \sum_{i=a}^{N} \binom {N}{i} q^{N-i} (1-q)^{i}\\ &= S_0 \mathcal{Q}_1 - K e^{-rT} \mathcal{Q}_2 \end{align}

donde $\overline{q} = uqe^{-r\Delta t}$.

$\textbf{Question}$

Si $\overline{q} = uqe^{-r\Delta t}$, entonces estoy asumiendo $(1-\overline{q}) = d\,e^{-r \Delta t}\,(1- q)$, sin embargo no me parecen derivar de esta igualdad.

Agradecería cualquier ayuda para entender por qué.

Muchas gracias,

Juan

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} q= \frac{e^{r\Delta t} -d}{u-d}. \end{align*} A continuación, \begin{align*} u = \frac{e^{r\Delta t} -d}{q} + d. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} 1-\bar{q} &= 1-uqe^{-r\Delta t}\\ &=1- \big(e^{r\Delta t} -d\big)e^{-r\Delta t}-dqe^{-r\Delta t}\\ &=de^{-r\Delta t} -dqe^{-r\Delta t}\\ &=de^{-r\Delta t}(1-q). \end{align*}