Ecuación de EUler de linealización logarítmica

Question

Estoy tratando de resolver un problema que pide linealizar logarítmicamente la siguiente ecuación de Euler del modelo neokeynesiano:

$$C^{-\sigma}_t=\beta E_tC^{-\sigma}_{t+1}(1+i_t)/(1+\pi_{t+1}).$$

La solución se da como: $$\tilde{C}_t=\beta E_t\tilde{C}-\frac{1}{\sigma}(i_t-E_t\tilde{C}_{t+1}-\rho).$$

Y también existen las siguientes relaciones en el estado estacionario dado $1=\beta(1+r)$ , $\beta=(1+\rho)^{-1}$ y $ln1=ln \beta+r$ lo que lleva a $r=-ln\beta=\rho$ .

¿Alguien puede explicarme cómo se hace la linealización logarítmica? Sé que el primer paso sería tomar el logaritmo de todo (y restar el logaritmo del parámetro constante de estado estacionario) o utilizar la aproximación de Taylor. Sin embargo tengo un problema con el $(1+i_t)$ y $(1+\pi_{t+1})$ términos. Además, ¿por qué $1=\beta(1+r)$ ¿se mantiene en estado estacionario? Tenga en cuenta que $i$ denota nominal tipo de interés.

Gracias.

ACTUALIZACIÓN: A continuación, daré mi ruta de solución. Sin embargo, no estoy seguro de si es apropiado hacerlo así: $$C^{-\sigma}_t=\beta E_tC^{-\sigma}_{t+1}(1+i_t)/(1+\pi_{t+1})$$ $$lnC^{-\sigma}_t=ln\beta+lnE_t(C^{-\sigma}_{t+1})+ln(1+i_t)-ln(1+\pi_{t+1})\qquad (1)$$ Restando (1) con $$lnC^{-\sigma}=ln\beta+ln(C^{-\sigma})+ln(1+i)-ln(1+\pi)$$ rinde $$\tilde{C}_t=E_t(\tilde{C}_{t+1})-\frac{1}{\sigma}(\tilde{(1+i_t)}-\tilde{(1+\pi_{t+1})})$$ y como $\tilde{1+i_t}=ln(1+i_t)-ln(1+i)=i_t-i$ y $\tilde{1+\pi_{t+1}}=\pi_{t+1}-\pi$ : $$\tilde{C}_t=E_t(\tilde{C}_{t+1})-\frac{1}{\sigma}(i_t-i+E\pi_{t+1}-\pi)\qquad(2)$$ $i$ es el tipo de interés nominal en estado estacionario y puede definirse como $i=r+\pi$ y $r=\rho$ : $$\tilde{C}_t=E_t(\tilde{C}_{t+1})-\frac{1}{\sigma}(i_t-\rho+\pi-E\pi_{t+1}-\pi)\qquad(3)$$

Lo que nos lleva a la ecuación final: $$\tilde{C}_t=\beta E_t\tilde{C}-\frac{1}{\sigma}(i_t-E_t\tilde{C}_{t+1}-\rho).$$

Answer 1

Como dices el primer paso es tomar el logaritmo de ambos lados después de eso solo estas aplicando las reglas de los logaritmos y reordenando.

Por ejemplo: $$\ln (XZ)=\ln X + \ln Z$$ $$\ln X/Z= \ln X - \ln Z$$ $$\ln X^a = a \ln X$$ $$\ln 1 = 0$$

También se aplican aquí unas aproximaciones importantes que se mantienen cerca de cero, que son:

$\ln(1+x) \approx x $ pour $x$ cerca de cero (lo que para los tipos de interés y la inflación, que suelen ser apenas un par de céntimos, se aplica).

Además, la aproximación de Taylor es en realidad una forma diferente de linealizar la relación, por lo que, aunque es un ejemplo de linealización, no es necesariamente una log-linealización. De hecho, el resultado $\ln(1+x)$ se basa en la aproximación de Taylor, pero no es una linealización logarítmica porque la simple aplicación de logaritmos no produce una expresión logarítmica.

Usando estas reglas puedes probar todas las soluciones anteriores. Te dejaré la primera ecuación como ejercicio, para las otras ecuaciones puedes ver que:

Linealización del registro $1=\beta(1+r)$ da: $ \ln 1= \ln (\beta(1+r))$ que después de la simplificación nos da $0= \ln \beta + \ln (1+r)$ ou $\ln \beta = -r $

A partir de la segunda ecuación $\beta=(1+\rho)^{-1}$ La linealización del logaritmo nos da $\ln \beta =-\ln(1+\rho) \implies \ln \beta = -\rho$ . De ahí que se obtenga la igualdad que $-r=\ln \beta = -\rho$ entonces puedes multiplicar todos los lados por -1 para mover el menos en medio de la igualdad.

Le site $1=\beta (1+r)$ proviene del hecho de que una persona racional querría que la utilidad marginal del consumo hoy y en el futuro fuera igual, por lo que en realidad la ecuación se lee correctamente:

$$u_t^{\prime} = \beta (1+r) u_{t+1}^{\prime}$$

Que se puede reescribir como: $u_t^{\prime} / u_{t+1}^{\prime} = \beta (1+r) $ y si $u_{t}^{\prime}= u_{t+1}^{\prime}$ se obtiene el resultado de que $1=\beta (1+r)$ . Una vez más, esto se debe a que en el estado estacionario se desea que la utilidad marginal del consumo sea igual en todos y cada uno de los períodos.