¿Cómo valorar una opción de compra que depende de dos procesos de Wiener?

Question

¿Podría alguien explicarme por qué funciona la fórmula regular de precios de las llamadas, sólo con $\sigma$ sustituido por $\|\sigma\|$ en el caso de que el activo subyacente dependa de dos procesos de Wiener?

Por ejemplo, podríamos haber tenido un modelo con dos activos de riesgo, y por lo tanto dos procesos de Wiener, con el fin de garantizar el no arbitraje y la integridad. Y entonces podríamos estar interesados en una opción de compra sobre sólo uno de estos valores.

Estoy leyendo mi libro de texto, y en él, se limita a utilizar la fórmula regular para la fijación de precios de las opciones de compra, excepto que toma una norma del vector de volatilidad bidimensional. Pero, no demuestra por qué este es el enfoque correcto.

EDIT: Aquí está la imagen del texto:

Como puede ver, se limita a enchufar $\sigma_{S^f}$ (bidimensional) en lugar de $\sigma$ en la fórmula regular del precio de compra, que se da como sigue:

Answer 1

Dejemos que $\sigma \in \mathbb{R}_n^n$ y que $W$ sea un movimiento browniano estándar de n dimensiones. Definir un nuevo proceso unidimensional $\tilde{W}$ por

\begin{equation} \tilde{W}_t = \frac{1}{\vert \vert \sigma \vert \vert} \sum_{i = 1}^n \sigma_i W_t^{(i)}. \end{equation}

Entonces es fácil demostrar que $\tilde{W}$ es una martingala continua, que comienza en $\tilde{W}_0 = 0$ y con variación cuadrática $\mathrm{d} \langle \tilde{W} \rangle_t = \mathrm{d}t$ . Por el teorema de caracterización de Levy se deduce que $\tilde{W}$ es un movimiento browniano unidimensional estándar. En consecuencia, $S$ sigue un movimiento browniano geométrico con respecto a $\tilde{W}$ y el coeficiente de difusión $\vert \vert \sigma \vert \vert$ es decir

\begin{eqnarray} \mathrm{d}S_t & = & r S_t \mathrm{d}t + S_t \sum_{i = 1}^n \sigma_i \mathrm{d}W_t^i\\ & = & r S_t \mathrm{d}t + \vert \vert \sigma \vert \vert S_t \mathrm{d}\tilde{W}_t, \end{eqnarray}

y se aplica el resultado habitual de Black-Scholes.

Como alternativa, se puede observar que

\begin{equation} \sum_{i = 1}^n \sigma_i W_t^{(i)} \end{equation}

es una suma de $n$ variables aleatorias normales independientes. Por tanto, se distribuye normalmente con media cero y varianza

\begin{equation} \sum_{i = 1}^n \sigma_i^2 t = \vert \vert \sigma \vert \vert^2 t. \end{equation}

En consecuencia,

\begin{equation} \ln S_t \sim \mathcal{N} \left( S_0 + \left( r - \frac{1}{2} \vert \vert \sigma \vert \vert^2 \right) t, \vert \vert \sigma \vert \vert^2 t\right) \end{equation}

y de nuevo se aplica el análisis habitual de Black-Scholes.