Índice de Gini frente al índice de Herfindahl: uno aumenta y el otro disminuye

Question

Estoy comparando dos vectores de valores que indican las ponderaciones de la cartera en unidades monetarias en dos fechas diferentes.

Quería cuantificar si la concentración en las carteras cambiaba. Así que pasé a calcular el índice de Gini y el índice de Herfindahl para ambos vectores.

Ahora tengo el resultado de que el índice de Gini aumentó, pero el índice de Herfindahl disminuyó. ¿Cómo puedo entender este resultado?

Lo hice en R, por lo que te proporciono los valores y el código:

 library(ineq)

V0 <- c(6.162382e+01, 7.870565e+02, 2.922241e+03, 8.367593e-02, 3.306334e+01, 1.937308e+03, 2.114359e+01, 3.942730e+01, 2.682160e+00,
1.929470e+03, 2.052831e+03, 9.902533e+03, 9.603747e+03, 2.370503e+00, 3.841130e+01, 2.364905e+01, 3.627621e-01, 2.248296e+02,
2.330520e+03, 7.286694e+03, 5.218457e+00, 5.961622e-01, 0.000000e+00, 0.000000e+00, 5.048860e+03, 2.885924e+01, 3.051794e+02,
5.937953e+02, 6.668031e+00, 1.004851e+02, 3.319353e+02, 1.796081e+03, 1.407182e+03, 2.728721e+03, 3.892461e+04, 2.996096e+04)

V1 <- c(1.07793e-03, 5.87720e-04, 1.95339e-04, 2.65183e+03, 8.58753e-04, 2.67605e-04, 4.86570e-05, 1.74857e-05, 1.00513e-04, 5.18214e+03,
9.09578e+03, 3.23243e+04, 4.41746e-03, 2.11019e-05, 2.87357e+04, 6.10592e+03, 2.25064e-03, 1.24105e-03, 1.63327e+04, 1.47689e-03,
1.60764e-04, 9.70041e-04, 2.64918e-06, 2.13185e-04, 1.95118e-03, 3.50591e+03, 2.97961e-03, 1.34459e-04, 1.10588e+03, 3.30131e-05,
2.41992e-04, 1.03209e-04, 2.25949e-03, 1.93734e-02, 1.50010e+04, 3.98032e+02)

Gini(V0)
[1] 0.8202071
Gini(V1)
[1] 0.8503999
Herfindahl(V0)
[1] 0.187598
Herfindahl(V1)
[1] 0.1744127

Es evidente que ambos vectores están distribuidos de forma bastante desigual. El alto índice de Gini dice exactamente eso. El índice de Herfindahl es más bien bajo a mi parecer, pero no tengo mucha experiencia con las medidas de desigualdad/concentración.

Answer 1

Miden cosas diferentes. En particular, el índice de Gini mide la desigualdad y se ve fuertemente afectado por el número de individuos que no tienen casi nada, mientras que el índice de Herfindahl mide la diversidad de las acciones (por ejemplo, la elección en un mercado) y casi no se ve afectado por los que no tienen casi nada

Si $n$ personas tuvieran la misma proporción, entonces el índice de Gini sería $0$ , no cambiando como $n$ aumentaría ya que la desigualdad no cambiaría, mientras que el índice Herfindahl se $\frac1n$ reduciendo como $n$ aumentaron para reflejar una mayor diversidad

A modo de ejemplo, lo siguiente $36$ dan más o menos los mismos resultados que tus dos ejemplos

V2 <- c(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, 
        0.05, 0.19, 0.19, 0.19, 0.19, 0.19)
Gini(V2)
# [1] 0.8527778
Herfindahl(V2) 
# [1] 0.183

Pero los ceros no tienen ninguna repercusión en las cuotas de mercado ni en el índice Herfindahl: que haya alguien de más sin cuota es tan irrelevante como que no haya nadie de más, y que haya alguien con una cuota ínfima es casi igual de irrelevante. La eliminación de esos ceros llevaría a

V3 <- c(0.05, 0.19, 0.19, 0.19, 0.19, 0.19)
Gini(V3)
# [1] 0.1166667
Herfindahl(V3)
# [1] 0.183

con el índice de Gini mucho más pequeño (hay menos desigualdad cuando se excluye a los que no tienen nada) pero el índice de Herfindahl se mantiene igual, correspondiendo a algo entre $5$ y $6$ partes iguales

Podrías mirar las curvas de Lorenz para tus ejemplos con algo del paquete como

plot(Lc(V0), col="blue")
lines(Lc(V1), col="red")

o algo casero como

plot(c(0,1), c(0,1), type="l")
points((0:length(V0))/length(V0),cumsum(c(0,sort(V0)))/sum(V0), 
    type="b", col="blue")
points((0:length(V1))/length(V1),cumsum(c(0,sort(V1)))/sum(V1), 
    type="b", col="red")

da una imagen como esta con V0 en azul y V1 en rojo

Así, se puede ver que hay un área mayor entre la diagonal y la curva roja (V1) que entre la diagonal y la curva azul (V0), lo que explica que V1 dé un mayor índice de Gini. Esto se debe en gran medida a que V1 tiene más valores extremadamente bajos que V0

Pero en el lado derecho, los dos valores superiores son mayores para el azul (las sumas acumulativas de los otros son menores), por lo que las acciones están más concentradas para V0 lo que lleva a un índice Herfindahl más alto