Consideremos un modelo general de mercado multidimensional en el que cada $m$ acciones es impulsado por $d$ Los movimientos brownianos (como en Shreve II, p. 226), a saber $$ dS_i/S_i = \alpha_i dt + \sum_{j=1}^d \sigma_{ij}dW_j, \qquad i=1,\ldots,m, $$ donde cada $W_j$ es independiente de los demás. Podríamos escribir esto como una ecuación vectorial como $$ dS/S = \alpha dt + A dW $$ donde $S = (S_1,\ldots,S_m)^T$ , $\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_m)^T$ , $dW = (dW_1,\ldots,dW_m)^T$ y $$ A = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \ldots & \sigma_{1d} \\ \vdots & \ddots & \\ \sigma_{m1} & \ldots & \sigma_{md} \end{pmatrix}. $$ He visto $A$ llamada "matriz de volatilidad", por razones obvias.
Por otro lado, también he visto (similar a la ecuación (1) en este artículo ) un modelo de mercado multidimensional planteado en forma matricial-vectorial como $$ dS/S = \alpha dt + B dW, $$ donde de nuevo cada componente de $W$ es independiente del resto. La diferencia es la matriz $B$ se denomina "root cuadrada de la matriz de covarianza $\Sigma$ " en el artículo anterior, y afirman que es "...típico tomar $B$ para ser la matriz de descomposición Cholesky de $\Sigma$ Es decir, $BB^T = \Sigma$ donde $B$ es triangular inferior. Nótese aquí que los autores asumen implícitamente $m=d$ en la notación anterior.
Primera pregunta: Supongo que por "matriz de covarianza" se entiende $\Sigma_{i,j} = Cov(R_i, R_j)$ donde $R_i = \log\left(S_i(t) / S_i(0)\right)$ son los rendimientos de los troncos. ¿Es esto correcto? Si es así, parece que hay un factor de $t$ falta en algún lugar entre las dos declaraciones del modelo. Como ejemplo concreto, veamos $m=d=2$ y considerar cualquier root cuadrada de la matriz $\Sigma$ (no necesariamente un triángulo inferior). Entonces, en el primer modelo $$ A = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{pmatrix} $$ y en el segundo $$ \Sigma = \begin{pmatrix} Var(R_1) & Cov(R_1,R_2) \\ Cov(R_2,R_1) & Var(R_2) \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} \sigma_{11}^2 + \sigma_{12}^2 & \sigma_{11}\sigma_{21} + \sigma_{12}\sigma_{22} \\ \sigma_{11}\sigma_{21} + \sigma_{12}\sigma_{22} & \sigma_{21}^2 + \sigma_{22}^2 \end{pmatrix}. $$ Si las dos afirmaciones del modelo son consistentes, entonces esperaría $AA^T = \Sigma$ , pero en realidad $AA^T = \frac{1}{t}\Sigma$ . Entonces, por "matriz de covarianza" ¿realmente queremos decir $\Sigma_{ij} = \frac{1}{t}Cov(R_i,R_j)$ ?
Segunda pregunta: En el ejemplo anterior, $A$ era efectivamente una root cuadrada de la matriz $\Sigma$ donde $\Sigma_{ij} = \frac{1}{t}Cov(R_i,R_j)$ y esto parecía la opción obvia para $A$ (al menos para mí). Pero los autores del artículo afirman $A$ podría tomarse como triangular inferior, lo que significa que las acciones $i$ es impulsado sólo por $i$ Movimientos brownianos. Esto parece una restricción adicional al modelo general, en el que cada acción es impulsada por alguna combinación lineal de todo los movimientos brownianos. Entonces, ¿tomar la matriz de "volatilidad" para que sea triangular inferior es una restricción extra?
