Explicación de la prueba de Johansen

Question

Estoy tratando de entender todo el procedimiento de Johansen a través de la wikipedia y algunos otros artículos y soy un noob en la econometría por lo que hay una gran cantidad de notación y la jerga que creo que no estoy familiarizado con.

https://en.wikipedia.org/wiki/Johansen_test

En primer lugar, la prueba en sí. Estoy confundido por cómo probamos los vectores de cointegración. ¿De dónde vienen estos vectores? Basado en esto

https://en.wikipedia.org/wiki/Error_correction_model

En él se indica que

Paso 1: estimar un VAR no restringido con variables potencialmente no estacionarias Paso 2: Prueba de cointegración mediante la prueba de Johansen Paso 3: formar y analizar el VECM.

Entonces, ¿es que primero estimamos un VAR, luego ejecutamos la prueba de traza o de valores propios en la matriz pi, y luego estimamos el VECM? Entonces, cuando estimamos el VECM, ¿es ahí de donde, en última instancia, salen los vectores de cointegración? ¿Y esos vectores de cointegración finales residen en la matriz pi? ¿Cómo sabemos qué vectores de cointegración utilizar?

También necesito una pequeña aclaración sobre los modelos.

Empezaré con el modelo VAR(p)

Estoy relativamente seguro de que Xt es un vector de valores en el tiempo t, et es un término de ruido blanco en el tiempo t. No estoy muy seguro de lo que mu, phi, y Dt son (aunque he oído leer que es una especie de término "estacional"). También estoy asumiendo que los pi son matrices que tenemos que estimar. Estoy pidiendo una aclaración aquí, pero en general creo que entiendo esta representación VAR(p).

Aquí es donde necesito más aclaraciones para el modelo VECM. ¿Qué son exactamente los delta's? ¿Son sólo la primera diferencia, es decir, (1-L)?

Perdón por las preguntas de novato pero estoy tratando de aprender esto por mi cuenta y no he encontrado muchos recursos buenos para el test de johansen y vecm en particular.

Answer 1

Creo que los pasos de la wikipedia no son del todo correctos. Cuando realizas el test de cointegración de Johansen primero tienes que hacer una prueba previa de los datos para saber si tienen el mismo orden de integración. Es decir, todas las variables tienen que ser $I(1)$ o $I(2)$ etc. (véase Verbeek, 2008). Hay algunas pruebas y modelos de cointegración que relajan este supuesto, pero Johansen no es uno de ellos. Por lo demás, los pasos 1 a 3 son correctos.

$\Phi D_t$ son, en efecto, maniquíes estacionales. Sin embargo, hay que tener en cuenta que en realidad no son parte estándar del modelo, sino que se añaden cuando se piensa que las series pueden verse afectadas por tendencias estacionales y si no se utiliza alguna otra técnica de ajuste estacional o si no se dispone de datos con ajuste estacional de la fuente.

$\mu$ es la constante o término de "deriva". Permite que su regresión tenga un intercepto diferente a cero.

Tienes razón $\Pi$ son matrices de coeficientes, pero no te olvides de $\Phi$ . Cualquier coeficiente que se añada ahí tiene que ser estimado, ya sé que es una minucia, pero aún así.

Los vectores de cointegración proceden del $\Pi$ en la segunda ecuación. Esta matriz puede descomponerse como $\Pi = \gamma \beta'$ donde $\gamma$ es la matriz de pesos con la que los vectores de cointegración entran en el modelo y $\beta$ es en realidad la matriz de relaciones cointegradas. No estoy muy seguro de lo que quiere decir al elegir el vector cointegrado de esta matriz. No es como si usted acaba de extraer de alguna manera uno de los vectores en algún lugar en algún vector separado.

Después, el test de Johansen comprueba básicamente el rango o el número de columnas de la matriz cointegrada (Con dimensiones $k$ x $r$ se prueba para el # de $r$ ). Intuitivamente, esto funciona porque se necesita una columna para representar cada relación cointegrada (tenga en cuenta que puede haber varias relaciones cointegradas al mismo tiempo).

El rango de la matriz se comprueba mediante la prueba de la traza o del valor propio, como usted ha mencionado correctamente. El nulo de la prueba de la traza es $H_0: r \leq r_0$ contra $H_a: r <r_0 \leq k$ y la prueba del valor propio máximo tiene la misma hipótesis nula pero la alternativa es ligeramente diferente $H_a: r = r_0+1$ . Sin embargo, esto puede ser difícil de leer en inglés. En la práctica, si sólo tiene dos variables, ambas pruebas se reducirían a probar primero la cointegración 0 ( $r=0$ ) relación frente a 1 $(r=1)$ , segundo menos o igual a 1 relaciones cointegradas $(r\leq 1$ ) contra 2 ( $r=2$ ), tercero menos o igual a 2 coint. rel. $r\leq 2$ vs 3 ( $r=3$ ). En realidad no hay que elegir entre estos vectores, aunque el número de vectores cointegrados puede afectar a la forma funcional del VECM, pero con sólo dos variables se busca $r=1$ Si su prueba encuentra que debería haber más, está omitiendo algunas variables importantes en su modelo.

También sí $\Delta$ es la primera diferencia $\Delta y_t = y_t - y_{t-1}$ . También la inclusión de las primeras diferencias supone que las variables son todas $I(1)$ si son $I(2)$ necesitas al menos segundas diferencias. La razón es que, fuera de las variables rezagadas cointegradas, las variables "contemporáneas" deben ser estacionarias, de lo contrario el ECM estará sesgado. Toda la justificación de incluir variables de nivel en el ECM es que mientras haya una relación cointegrada entre ellas su combinación será estacionaria y su coeficiente será súper consistente, pero esto no se extiende a las variables que se añaden al modelo fuera de la relación cointegrada.

Referencias: Verbeek, M. (2008). Guía de la econometría moderna. John Wiley & Sons.