¿Qué es una notación de '1' en riesgo neutral probabilidades de papel?

Question

Estoy leyendo el papel por Zhao et al (2008) y tiene un problema con las definiciones utilizadas en el texto en la página 1535.

En primer lugar, generamos una muestra, $R$, de un tamaño dado de la distribución (21). Deje que $\hat{\mu}$ y $\hat{\sigma}^2$ ser la media de la muestra del vector y la varianza de la muestra matriz de covarianza. Entonces, podemos modificar el generado de la muestra a $$\hat{R}=\mu + (R-\hat{\mu})\hat{\sigma}^{-1}\sigma.$$ A continuación, la muestra modificada $\hat{R}$ tiene el mismo primer y segundo momentos de la distribución original. A fin de probar, si la muestra modificada es el arbitraje libre, usamos el Matlab barra diagonal inversa de la función de examinar si la solución a $(1 + R)^{\top} \barra invertida 1$ es de las componentes positivas.

Pregunta. Lo que significa $1$ en la última línea? Es una identidad de la matriz o un vector columna de unos? Y lo que es de dimensiones de este $1$?

He tratado de examinar la solución de la Tabla 1.

library(pracma)

n <- 5

R<-matrix(
c(
0.0025, 0.0377, 0.0110, 0.0769, 0.0047,
0.0025, 0.0431, 0.0001, 0.0045, 0.0562,
0.0025, 0.0469, 0.0643, 0.0400, 0.0370,
0.0025, 0.0504, 0.0422, 0.0169, 0.0333,
0.0025, 0.0596, 0.0038, 0.1896, 0.0663), ncol=n)

#I<-ones(n)
I <-diag(n)

mldivide(t(I+R),I)

Agregar después de JejeBelfort del comentario. Si el $1$ es un vector columna de unos, a continuación, lo que es de $+$? De la unión de operación o producto de Kronecker de operador?

I <- rep(1, n)
cbind(I, R)

De referencia.

Yonggan Zhao, William T. Ziemba (2008) el Cálculo de riesgo neutral probabilidades y óptima de la cartera de pólizas en un dinámico modelo de inversión con el inconveniente del riesgo de control. European Journal of Operational Research 185 (2008) 1525-1540.

Answer 1

La 1 la que te refieres es un vector de

La expresión $(1 + R)^T \barra invertida 1$ parece ser una abreviatura de una MATLAB ecuación como:

s = (ones(n,k) + R)' \ ones(n, 1)

donde R es n por k matriz (es decir, la especificación de las devoluciones por $n$ períodos de $k$ activos).

1 + R suma 1 a cada elemento de la matriz R (por ejemplo. hace un regreso como 1.02 lugar de .02). El comando de MATLAB \ podría resolver el siguiente sistema por $\mathbf{s}$ en el sentido de los mínimos cuadrados:

$$ ( 1 + R)^T \mathbf{s} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \ldots \\ 1 \end{bmatrix} $$

Un no-negativos solución $\mathbf{s}$ garantiza la ausencia de arbitraje

Cualquier solución $\mathbf{s}$ para este sistema lineal será un vector de precios de estado para el $$ n a los estados que satisface la Ley de Un solo Precio (LOOP). Para cualquier activo $i$, el producto interior de el regreso de la serie y el estado de vector de precios da el valor 1, que es el precio de un retorno.

$$ (1 + \mathbf{r}_i)^T \mathbf{s} = 1$$

Si $\mathbf{s}$ correctamente los precios de cada uno de los activos, la Ley de Un solo Precio se cumple. Sin arbitraje es un poco diferente condición, aunque.

La existencia de un no-estado negativo vector de precios $\mathbf{s}$ implica la ausencia de arbitraje. Un resultado positivo de la rentabilidad con una estrictamente negativa costo es llamado un arbitraje. Si el estado de los precios de la densidad (factor de descuento estocástico) es positivo, entonces uno no puede construir un arbitraje.

(Nota: estoy usando letras en negrita para los vectores.)

Farkas del Lema y Sin Arbitraje

Por Farkas del Lexema, exactamente una de las siguientes condiciones se tiene:

1. Existe un estado de vector de precios $\mathbf{s} \in \mathbb{R}^n$ que $(1+R)^T \mathbf{s} = \mathbf{1}$ y $\mathbf{s} \geq 0$
2. Existe un $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^k$ (dar las inversiones en el $k$ activos) tales que $(1+R)\mathbf{w} \geq 0$ y $\mathbf{1}^T \mathbf{w} < 0$

La condición (1) es la existencia de un no-estado negativo vector de precios $\mathbf{s}$.La condición (2) implica que es posible construir un arbitraje:

• Una inversión de $w_i$ en activos $i$ le da la no-negativa de la rentabilidad $(1 + R) \mathbf{w} \geq 0$
• La cartera tiene un costo negativo desde $ \mathbf{w}^T \mathbf{1} < 0$.