Intuición detrás de la transformación Ln del precio de las acciones al aplicar el lema de Ito

Question

Soy capaz de replicar los pasos y llegar al precio de la opción utilizando el marco de Black Scholes. Sin embargo, aquí me interesa más entender, al menos intuitivamente, por qué se realiza la transformación ln del proceso del precio (parte del lema de Ito) en primer lugar. El proceso del precio ya es una función del tiempo y del proceso de Wiener, así que me pregunto por qué necesitamos aplicar otra función (ln). No creo que tenga que ver con la normalidad logarítmica de los precios o la normalidad de los rendimientos. He visto una transformación de este tipo en la solución de otros problemas que no estaban relacionados con el marco GBM - BS.

Gracias,

Answer 1

Esto es simplemente un truco matemático.

No se puede integrar fácilmente $dS_t = S_t(\mu dt + \sigma dW_t)$ a lo largo del tiempo porque la RHS depende de $S_t$ .

Usando el lema de Ito en el precio del logaritmo se obtiene: $d\ln(S_t) = \left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) dt + \sigma dW_t$ que es fácil de integrar.