Regresión ortogonal/PCA

Question

Estoy haciendo una regresión ortogonal. Mi matriz X consiste en los retornos de un amplio índice de mercado, índice de valor, índice de crecimiento, algunos sectores,.....(mi Y es los retornos de un fondo de acciones)

Estoy haciendo una regresión de la Y en los (primeros dos) componentes principales de la X (esto es para evitar el problema de la multicolinealidad en la X). Luego retrocedo las betas de las variables originales de X por la multiplicación de la matriz eigenvectorial y las betas de los componentes principales. Todo bien hasta ahora

Quería asegurarme de que todo estaba bien, así que decidí, a modo de prueba, hacer una regresión de los retornos del índice de mercado amplio en X (y recuerde que los retornos del índice de mercado amplio están en realidad en X). Esperaba que la beta del índice de mercado amplio estuviera muy cerca de 1, pero cuando hago esa regresión ortogonal no lo está, es similar en valor a todas las demás betas (alrededor de 0,15).

Esto seguramente no tiene sentido, ¿verdad? Cuando hago una simple regresión de los rendimientos del índice de mercado en X (que sufriría de multicolinealidad dada la alta correlación entre las variables X, ¿verdad?), la estimación de la beta es exactamente 1 (y las betas de los otros factores son muy pequeñas en comparación), pero cuando utilizo la regresión ortogonal la beta es 0,15.

¿No es preocupante el pequeño factor beta del índice de mercado?

Answer 1

Si X contiene varios índices muy correlacionados, el primer ACP será una combinación lineal de ellos y sus pesos serán similares porque al final representan el mismo fenómeno subyacente. Cuando se hace una regresión con la misma variable en Y y X se tendrá una coincidencia perfecta de ese regresor específico por construcción.

El verdadero problema de la colinealidad es que muchas combinaciones lineales diferentes de sus variables X le dan resultados muy similares. El PCA sólo restringe las posibilidades de esas combinaciones para obtener más estabilidad en los parámetros del modelo, pero no significa que esos sean "los" parámetros reales y hay muchas otras combinaciones que darán resultados similares, por lo que los betas no son tan fáciles de interpretar.

Mi sugerencia es que construyas un modelo con menos colinealidad por construcción. Por ejemplo, podrías utilizar un índice bursátil amplio, como un índice mundial ponderado por el PIB o la capitalización bursátil del país (llamémoslo I1), y luego encontrar la proyección de X en el subespacio ortogonal a I1 (llamémoslo X') para eliminar el efecto del mercado amplio en cada índice de X. Haciendo esto eliminarás la mayoría de los problemas de colinealidad, a menos que utilices índices similares en X. De esta manera tu modelo tendría dos tipos de betas. Una asociada a los movimientos amplios del mercado (la asociada a I1) y el resto asociada a sectores específicos, estilos, países, etc. Una forma de encontrar fácilmente X' es construirlo utilizando los residuos de regresión de cada índice en X utilizando I2 y la constante como únicos regresores. X' será la matriz con los residuos de cada regresión individual. Entonces se utiliza I2 y X' como regresores. Si evita que los índices de X' sean demasiado similares (como el uso de petróleo y energía) evitará los problemas de colinealidad múltiple y podrá interpretar sus resultados con facilidad. Si su X tiene muchas variables similares, consideraría usar PCA en los valores de X', pero de nuevo podría ser difícil de interpretar.