Hola Estoy leyendo la econometría de Hayashi y me he quedado atascado en la pregunta de repaso 1.5.1. La pregunta nos pide que demostremos que el supuesto de multicolinealidad del CLRM es satisfecho por la matriz de datos transformada CX donde C es una matriz invertible (n por n) y X es una matriz (n por k) con rango = k. Tenemos que demostrar que el rango de CX = k. Sé que esto es un teorema del álgebra matricial y que podemos demostrar que el rango de CX = rango de X = k. Pero Hayashi sugiere en la pista de la pregunta otra forma de demostrarlo y dice que debemos demostrar que para todos los vectores c distintos de cero debe ser que Xc no es igual a cero. Ahora bien, yo podría demostrarlo fácilmente a partir del hecho de que X tiene un rango completo. Pero me quedo atascado en mostrar el resultado final de que el rango (CX) = rango (X) = k. Cualquier sugerencia sobre cómo hacer esto, será muy útil. Puede que sea algo muy sencillo que se me escapa. Muchas gracias de antemano. P.D. Por si os interesa mirar la pregunta está en la página 59 del capítulo 1. http://press.princeton.edu/chapters/s6946.pdf
Respuesta
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Por cada $k \times 1$ vector $\mathbf c\neq \mathbf 0$ tenemos que $\mathbf X \mathbf c \neq \mathbf 0$ . Elija $\mathbf e_i$ para ser una base estándar $k \times 1$ vector que tiene $1$ en el $i$ -a posición, y $0$ en todos los demás lugares. $\mathbf X\mathbf e_i \neq \mathbf 0$ es un $n \times 1$ vector, e igual al $i$ -en la columna de $\mathbf X$ . Así que en notación de matriz de bloques tenemos que
$$\mathbf X = \left[ \begin{matrix} \mathbf X\mathbf e_1\;\; ...\;\;\mathbf X\mathbf e_k\end{matrix}\right] $$
Obsérvese que el conjunto de vectores $\mathbf X\mathbf e_i$ también forman una base. Ahora,
$$\mathbf C \mathbf X =\left[ \begin{matrix} \mathbf C\mathbf X\mathbf e_1\;\; ...\;\;\mathbf C\mathbf X\mathbf e_k\end{matrix}\right]$$
Desde $\mathbf C$ es no singular (y por tanto de rango de columna completo), y $n \times n$ se deduce que el $n \times 1$ vectores $\mathbf C(\mathbf X \mathbf e_i) \neq \mathbf 0$ . Además, son linealmente independientes en virtud del conjunto completo de vectores base utilizados. Así que $\mathbf CX$ es de rango de columna completo.
