Cómo calcular el valor esperado de una función de un movimiento browniano estándar (proceso de Wiener)

Question

Tengo un problema con respecto al valor esperado del proceso de Wiener dentro de una función, a saber:

Calcular $E[\cos(W_t)]$.

Para ampliar mi pregunta, ¿cuál es el método general para calcular estos E´s cuando están envueltos dentro de alguna función? Tengo la sospecha de que debo usar alguna serie de Taylor para el coseno, ¿pero cómo lo sé? ¿Cuándo necesito algún método especial aparte de simplemente usar Ito´s?

Answer 1

En este caso particular, la forma más sencilla de calcular el valor esperado es escribir $\cos(x) = \Re(e^{ix})$ y usar la fórmula para la función característica de una variable Gaussiana: si $Z \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, $E[e^{iuZ}] = e^{iu\mu - \frac{1}{2}u^2 \sigma^2 }$ (simplemente escriba el valor esperado como una integral $\int_{\mathbb{R}} e^{iuz} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}} dz$, agrupe los exponenciales y "complete el cuadrado").

Por lo tanto, ya que $W_t \sim \mathcal{N}(0,t)$, obtenemos $$ E[\cos(W_t)] = E[\Re(e^{iW_t})] = \Re(E[e^{iW_t}]) = \Re(e^{-t/2}) = e^{-t/2}. $$

Answer 2

Sí, estaba pensando en la aproximación de series de Taylor. Otra posibilidad es utilizar el bootstrapping o Jacknife, que es una aproximación lineal del bootstrapping.