Precios de las reclamaciones de las partes en un fondo

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema y agradecería alguna entrada porque estoy atascado.

Considere la posibilidad de un fondo que funciona de la siguiente manera. El fondo se inicia con $S_0$ valor de los activos después de un Movimiento Browniano Geométrico. En cada momento de la programación de $\{t_i\}_{1 \leq i \leq N}$, parte $B$ recibe un pago por valor de $\alpha S_{t_i}$. Esto va para $N$ fechas, a continuación, una parte $De$ rellena el fondo de regreso a $S_0$ si $S_{t_N} < S_0$. Si $S_{t_N} > S_0$ la diferencia se paga a parte $C$.

Ahora necesito el valor de las reivindicaciones de las tres partes. En la madurez el reclamo de $C$ es el valor de $\max(S_{t_N}-S_0, 0)$, mientras que el reclamo de $A$ es el valor de $\min(S_{t_N} - S_0, 0)$. Ahora vamos a $Q$ es el riesgo-neutral medida. Yo pensaba que el valor inicial de estos créditos será de $e^{-rt_N}E^Q(\max(S_{t_N}-S_0, 0))$ y $e^{-rt_N}E^Q(\min(S_{t_N}-S_0, 0))$, respectivamente. Yo aproximar esta expectativa mediante la simulación por debajo de los $Q$ (para simular $S_{t_i}$ bajo $Q$ con la deriva plazo $r$, donde $r$ es la tasa libre de riesgo). Sin embargo, en cada período de restablecimiento de la siguiente manera: $$S_{t_i^+} = (1-\alpha)S_{t_i^-}$$ donde: $$S_{t_i^-}=S_{t_{i-1}^+}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_i-t_{i-1})+\sigma W_{t_i-t_{i-1}}}$$ 1) ¿se Puede usar este método de fijación de precios? No tomar un corte de $S_{t_i}$, cada período de la ruina?

2) La segunda pregunta que tengo es ¿cuál es el reclamo de $B$ y cómo fijar los precios? Mi intuición: Después de $N$ períodos de $B$ ha recibido $\sum_i \alpha S_{t_i}$. Pero ¿a que precio esta?

3) Y por último: no se supone que es una relación de paridad entre los valores de las tres reclamaciones. El fondo se transforma $S_0$ y la contribución de $Un$ en pagos a $B$ y $C$ y $S_0$. Entonces pensé que, de alguna manera, el precio de la reclamación de $Un$ debe ser igual a los precios de $B$ y $C$. Es esto correcto? Si es así ¿por qué? Si no ¿qué debo hacer?

Answer 1

Para ser rigurosos, he modificado tu pregunta original para definir:

$$S_{t_i^+}=(1-\alpha)S_{t_i^-}$$

donde $t_i$ es una fecha de pago por $B$. En $t_i$, $B$ recibe la suma de $\alpha S_{t_i^-}$. De esta manera podemos distinguir $S_{t_i}$, $S_{t_i^+}$ y $S_{t_i^-}$ donde:

$$S_{t_i} = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t_i+\sigma W_{t_i}}$$

1) Para mí no hay ningún problema en particular. Dejando de $0<t_0<t$, tenga en cuenta que:

$$\begin{align} S_t&=S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t} \\[9 puntos] &=\left(S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t_0+\sigma W_{t_0}}\right)e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-t_0)+\sigma (W_t-W_{t_0})} \\[6pt] &=S_{t_0}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-t_0)+\sigma W_{t-t_0}} \end{align}$$

Dejar:

$$\begin{align} S_{t_0^-} & = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t_0+\sigma W_{t_0}} \etiqueta{1} \\[6pt] S_{t_0^+} & = (1-\alpha)S_{t_0^-} \etiqueta{2} \end{align}$$

Tenemos:

$$S_{t_0^+}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-t_0)+\sigma W_{t-t_0}} = (1-\alpha)S_{t_0^-}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-t_0)+\sigma W_{t-t_0}} = (1-\alpha)S_t$$

Si tenemos una 2ª fecha $t_1>t_0$:

$$\begin{align} S_{t_1^+}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-t_1)+\sigma W_{t-t_1}} & = (1-\alpha)S_{t_1^-}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-t_1)+\sigma W_{t-t_1}} \\[6pt] & = (1-\alpha)S_{t_0^+}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_1-t_0)+\sigma W_{t_1-t_0}} e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-t_1)+\sigma W_{t-t_1}} \\[6pt] & = (1-\alpha)S_{t_0^+}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t-t_0)+\sigma W_{t-t_0}} \qquad \\[6pt] & = (1-\alpha)^2S_t \end{align}$$

Así que usted puede simular el activo y luego se multiplica por $(1-\alpha)^N$ posteriormente. Desde $\text{(1)}$ y $\text{(2)}$ que ver que:

$$S_{t_i^-} = (1-\alpha)^{i-1}S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t_i+\sigma W_{t_i}} = (1-\alpha)^{i-1}S_{t_i}$$

2) El precio de la demanda es su descuento de los neutrales al riesgo expectativa, por lo tanto dejar que $\pi_B$ es el precio de $B\text {s'}$ reclamación tenemos:

$$\begin{align} \pi_B&=E^Q\left[\sum_{i=1}^Ne^{-rt_i}\alpha S_{t_i^-}\right] \\[6pt] & = \sum_{i=1}^N\alpha e^{-rt_i}E^Q\left[S_{t_i^-}\right] \\[6pt] & = \sum_{i=1}^N\alpha e^{-rt_i}(1-\alpha)^{i-1}E^Q\left[S_{t_i}\right] \\[6pt] & = \alpha S_0\sum_{i=1}^N e^{-rt_i}(1-\alpha)^{i-1}e^{rt_i} \\[6pt] & = \alpha S_0\sum_{i=0}^{N-1} (1-\alpha)^{i} \\[6pt] & = S_0(1-(1-\alpha)^N)\end{align}$$

3) en Primer lugar, tenga en cuenta que:

$$\min(S_{t_N}-S_0,0)=-\max(S_0-S_{t_N},0)$$

De ahí parte $De$ ha vendido una put con strike $S_0$ para el fondo. Además, vis-à-vis parte $C$ la posición es equivalente a la del fondo de haber vendido una call con strike $S_0$. Como resultado, la combinación de las posiciones de $A$ y $C$, el fondo es corta un contrato a futuro en el activo $S_t$.

Por otra parte, $B\text {s'}$ pagos pueden ser interpretados como dividendos: el activo paga proporcional de los dividendos con tarifa de $\alpha$ a veces $\{t_i\}_i$. Después de cada pago que el activo se deprecia por $\alpha S_{t_i^-}$.

Suponiendo que el activo es efectivamente paga dividendos, llegamos a la conclusión de que para replicar todos los pagos que el fondo sólo para sostener las necesidades de una unidad del activo: se pagará $B$ con los dividendos recibidos y en la madurez $t_N$ se va a vender por un precio equivalente a $S_0$ a $Un$ (si $S_{t_N} \leq S_0$) o $C$ (si $S_{t_N} > S_0$).

Answer 2

Esta es una adición a la respuesta proporcionada por Daneel Olivaw.

Vamos a suponer que el pago en $t_i$ para $i=1, \ldots, N$ es $\alpha_i S_{t_i}$. Definimos la función de paso de $$\begin{align*} M_t = \sum_{i=1}^N \alpha_i \pmb{1}_{\{t_i \le t\}}. \end{align*}$$ Por otra parte, asumimos que el fondo de valor de proceso $\{S_t, \, t \ge 0\}$ satisface el SDE de la forma $$\begin{align*} dS_t = S_{t}\big(rdt-dM_t + \sigma dW_t \big). \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} S_t = S_0 e^{(r-\frac{1}{2} \sigma^2)t + \sigma W_t}\Pi_{t_i \le t} (1-\alpha_{i}). \end{align*}$$ La valoración de las respectivas rentabilidades ahora puede ser seguido como la respuesta de Daneel Olivaw.