Replicar una cartera con una remuneración determinada

Question

Busco una estrategia general convincente [no ensayo y error] para resolver este tipo de cuestiones:

¡Cualquier ayuda será super útil!

¡Muchas gracias!

Replicar una cartera en un activo subyacente $S$ con un pago en tiempo $T$ igual a:

$$ \begin{align} V(T) & = 2S(T) + 30 & & \text{if } 0 \leq S(T) < 10 \\[6pt] V(T) & = -3S(T) + 80 & & \text{if } 10 \leq S(T) < 30 \\[6pt] V(T) &= S(T) 40 & & \text{if } 30 \leq S(T) \end{align}$$

Answer 1

Consideremos el caso en el que nos interesa descomponer una función de pago europea continua y lineal a trozos $V \left( S_T \right)$ en $n$ intervalos con $n + 1$ puntos del nodo $S_i$ para $i = 0, 1, \ldots, n$ . Sin pérdida de generalidad, suponemos que $S_0 = 0$ y escribir $V_i$ como abreviatura de $V \left( S_i \right)$ . Suponemos que la pendiente de la función de recompensa para $S > S_n$ es $x_{n + 1}$ .

Siga los siguientes pasos para reproducir este resultado:

1. Comprar bonos de cupón cero con un valor nocional de $V_0$ .
2. Para cada $i \in 1, \ldots n$ , comprar $x_i = \left( V_i - V_{i - 1} \right) / \left( S_i - S_{i - 1} \right)$ Opciones de compra europeas con un strike de $S_{i - 1}$ y vender la misma cantidad con un strike de $S_i$ .
3. Comprar $x_{n + 1}$ Opciones de compra europeas con un strike de $S_n$ .

Todos los contratos vencen en el momento $T$ .

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Aplicando esto a su ejemplo, tenemos $n = 2$ y obtener la siguiente cartera:

1. Compre bonos de cupón cero con un valor nocional de 30 USD.
2. Compre 2 opciones de compra con un strike de 0 USD y venda 2 opciones de compra con un strike de 10 USD.
3. Vender 3 opciones de compra con un strike de 10 USD y comprar 3 opciones de compra con un strike de 30 USD.
4. Compre una opción de compra con un strike de 30 USD.

Nuestras posiciones netas son así:

1. Larga un bono de cupón cero con un valor nocional de 30 USD.
2. Larga 2 opciones de compra de precio cero.
3. Corto 5 opciones de compra con un strike de 10 USD.
4. Larga 4 opciones de compra con un strike de 30 USD.

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Tenga en cuenta que esta descomposición no es única, ya que siempre se puede aplicar la paridad put/call a cualquiera de las posiciones.

Answer 2

Proporciono un algoritmo general y una implementación en R para resolver ese tipo de problemas en general: Ingeniería financiera: Replicación estática de cualquier función de pago .

Para su ejemplo:

payoff <- data.frame(pi = c(0, 10, 30, 40, Inf), f_pi = c(30, 50, -10, 0, Inf))
payoff
##    pi f_pi
## 1   0   30
## 2  10   50
## 3  30  -10
## 4  40    0
## 5 Inf  Inf

plot_payoff(payoff)

replicate_payoff(payoff)
##   zerobonds nominal   calls call_strike     puts put_strike
## 1         1      30  2 -5 4     0 10 30                    
## 2         1      50    -3 4       10 30       -2         10
## 3        -1      10       1          30     3 -5      30 10
## 4                         1          40  -1 4 -5   40 30 10

La primera solución es la misma que da @LocalVolatility.