Variación del precio de una acción y su relación con la volatilidad de los

Question

Un poco de historia. Sé que el precio a plazo de un stock (o su precio esperado) está dada por $\mathbb{E}[S_T]=S_te^{(r-q)(T-t)}$. Aquí, $r$ y $q$ no son constantes, sino que sigue una curva. Me preguntaba si lo siguiente es verdadero: $\mathbb{Var}[S_T]=S_t^2e^{\sigma^2(T-t)}$, donde $\sigma^2$ es el Black-Scholes de la volatilidad. Yo creo que esto sea verdad, pero no puedo convencerme a mí misma.

Alguien podría ayudarme en esto?

Edit. Gracias por la ayuda chicos. También me pregunto si es posible determinar este valor. $\mathbb{Var}[e^{(r-q)(T-t)}]$. Sólo que el valor sin el precio de las acciones?

Answer 1

Esto no es cierto. En el Black-Scholes de configuración, \begin{align*} S_T = S_t e^{(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)+\sigma (W_T-W_t)}. \end{align*} Entonces $$E_t(S_T) = S_te^{(r-q)(T-t)}, $$ y \begin{align*} Var_t(S_T) &= E_t(S_T^2) - (E_t(S_T))^2\\ &=S_t^2e^{(2(r-q)+\sigma^2)(T-t)}-S_t^2e^{2(r-q)(T-t)}\\ &=S_t^2e^{2(r-q)(T-t)}\big[e^{\sigma^2(T-t)} -1\big]. \end{align*}

Answer 2

Es difícil de digerir cómo llegar a su resultado. @Gordon ya ha dado la respuesta en riesgo marco neutral. Así que Aquí está la respuesta en el mundo real las probabilidades porque estás interesado en precio esperado y la varianza del precio de las acciones, no de cualquier tipo de contrato de derivados.

Se asume que $S_t$ es el proceso estocástico y seguir el movimiento Browniano geométrico con la siguiente SDE: $$dS_t=\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$ entonces $S_T$ la siguiente distribución lognormal, tal que: $$S_T|S_t \sim logN\left(lnS_t+ (\mu - \frac{\sigma^2}{2})(T-t), \quad \sigma^2(T-t)\right)$$ Así, $$\mathbb{E}[S_T|S_t]=S_te^{\mu (T-t)},$$ y $$Var[S_T|S_t]=S_t^2 e^{2\mu (T-t)}[e^{\sigma^2(T-t)} -1]$$

En el caso de dividendos, sólo resta la tasa de dividendos ($q$) de $\mu$.

Aquí hemos utilizado el hecho de que para el registro aleatorias distribuidas normalmente la variable $X$, tal que $X \sim logN(\mu \sigma^2)$, la media y la la varianza está dada por:

\begin{align} \mathbb{E}[X] &= e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}, \\ \operatorname{Var}[X] &= (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}\\ &= (e^{\sigma^2} - 1)(\mathbb{E}[X])^2 \end{align}