En este ejemplo, ¿se valora incorrectamente la opción de compra de activo o nada en el marco de Black-Scholes?

Question

Entiendo la solución del ejemplo del autor que aparece a continuación, pero no puedo evitar darme cuenta de que la volatilidad implícita es un número imaginario:

El tiempo $t$ El precio de una opción de compra de activos todo o nada es $S_t e^{-\delta(T - t)}N(d_1)$

Tenemos $38.66 = S_0e^{-\delta\cdot T}N(d_1) = 60e^{-0.02\cdot0.5} N(d_1)$ y así $N(d_1) = 0.650808991$ y $d_1 = 0.38751$ . Por lo tanto

$$0.38751 = \frac{\ln(60/50) + (0.1 - 0.02 + 0.5\sigma^2)\cdot0.5}{\sigma\sqrt{0.5}},$$ que da

$\sigma \in \{0.548022 - 0.767436i, 0.548022 + 0.767436i\}$ .

No veo cómo es posible una volatilidad implícita imaginaria, así que ¿esta opción tenía un precio incorrecto según el marco Black-Scholes?

El problema procede de "Models for Financial Economics", de Abraham S. Weishaus.

Answer 1

Estoy de acuerdo con sus cálculos. El problema es que el precio inicial de la opción de compra de activo o nada de 38,66 no puede surgir dentro del marco de Black-Scholes. Esto parece ser una incoherencia/error en la pregunta.

A continuación se muestra un gráfico del precio de la opción de compra "activo o nada" en función de la volatilidad implícita. Obsérvese que "1" significa 100% de volatilidad implícita.

Sea $A_0$ sea el precio inicial de la opción. Es fácil comprobar que

\begin{equation} \lim_{\sigma \downarrow 0} A_0 = \lim_{\sigma \uparrow \infty} A_0 = S_0 e^{-\delta T} = 59.4030 \end{equation}

Además

\begin{equation} \arg \min_{\sigma \in \mathbb{R}_+} A_0 = \sqrt{\frac{1}{T} \left( \ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + (r - \delta) T \right)} = 94.30\% \end{equation}

y

\begin{equation} \min_{\sigma \in \mathbb{R}_+} A_0 = 44.4070. \end{equation}

Sin embargo, puede seguir aplicando la paridad put/call independiente del modelo para las opciones asset-or-nothing como se sugiere en la respuesta.