Luchando con compensados/demanda compensada

Question

Estoy trabajando en un conjunto de problemas para mi intermediate microeconomics supuesto, pero estoy teniendo problemas derivados de la compensados y no compensados de funciones de demanda. Esta es la función de utilidad:

$U(x, y, z) = aln(x) + bln(y) + z$, con bienes de $x$, $y$, $z$ e ingresos $I$. He encontrado los siguientes valores óptimos:

$x = (P_z/P_x)un$, $y = (P_z/P_y)b$, $z = (I/P_z) - a - b$

Aunque he seguido los pasos, no estoy completamente seguro de que este es el adecuado. Por otra parte, tengo que encontrar la cruz de los efectos en los precios y tanto el compensados y no compensados de funciones de demanda, pero estoy teniendo algunos problemas graves a resolver este problema.

Answer 1

En primer lugar, queremos encontrar el óptimo bien de cestas, es decir cuánto comprar de bienes $x$,$y$ y $z$ a obtener el máximo valor de U fuera de ella.

Vamos a escribir el $MRS$ para $x$ y $y$ contra $z$. Para esto tenemos que diferenciar la función de utilidad para cada una de las variables: $d_xU(x,y,z)=a/x$ , $d_yU(x,y,z)=b/y$,$d_zU(z,y,z)=1$. Tenemos por lo tanto, deducir las tasas de sustitución será de $-1a/x$ y $b/$ y respectivamente.

Por lo tanto tenemos: $p_x/p_z=a/x$ y $p_y/p_z=b/y$

La restricción presupuestaria es de $p_xx+p_yy+p_zz=I$ que nos re-escribir $p_x(ap_z/p_x)+p_y(bp_z/p_y)+p_zz=I$, que simplfies en $ap_z+bp_z+zp_z=I$

$z^*=(I/p_z)-a-b$

$(x^*,y^*,z^*)=(ap_z/p_x, bp_z/p_y,(I/p_z)-a-b)$

Buena noticia, que estaban en lo correcto :).

La cruz precio efecto es el aumento de la demanda en buen $x$ a raíz de un aumento en el precio del bien $z$. Simplemente calcular la diferencia entre $x^*$ para $p_z$ y $x^*$ para $p_z'=p_z+\epsilon$ (usando $x^*=ap_z/p_x$).

Finalmente, los seis curvas frecuentes son la forma en la que la demanda cambia cuando cambia el precio de retención de ingresos ($I$) constante, o la utilidad ($U$) constante. Dibujar mismo tomando dos precios fijos para cada situación.

Answer 2

Hola no hay que olvidar que hay una posibilidad de solución esquina como consumidor del problema es: \begin{matriz} max_{x,y,z}U(x,y,z)=aln(x)+bln(y)+z &\text{objeto} & xp_x+yp_y+zp_z=I, & x,y>0, y z\geq 0 \end{matriz}. Con Pabellones De Conveniencia, \begin{matriz} \frac{ay}{bx}=\frac{p_x}{p_y}, &\frac{a}{x}=\frac{p_x}{p_z}, &\frac{b}{y} =\frac{p_y}{p_z}. \end{matriz} Ahora, esta condición es válida para el fib $$\frac{I}{p_z}\geq (a+b)$$ de lo contrario el consumidor"s problema se reduce a la elección óptima entre el bien x y el bien ydecir \begin{matriz} max_{x,y}U(x,y)=aln(x)+bln(y) &\text{objeto} & xp_x+yp_y=I, & x,y>0 \end{matriz}. Con Pabellones De Conveniencia, $$\frac{ay}{bx}=\frac{p_x}{p_y}$$ Por la anterior información la función de demanda (no compensada función de demanda) de este consumidor es: $$(x,y,z)(p_x,p_y,p_z,I)=\begin{casos} \left ( \frac{ap_z}{p_x},\frac{bp_z}{p_y},\frac{I}{p_z}-a-b \derecho ), & \text{ si } \frac{I}{p_z}\geq (a+b) \ \ \left ( \frac{Ia}{(a+b)p_x},\frac{Ib}{(a+b)p_y},0 \derecho )& \text{ lo contrario. } \end{casos}$$