Volatilidad estocástica y delta rígida

Question

"Los modelos de volatilidad estocástica pueden considerarse como un modelo delta pegajoso. Y el modelo de volatilidad local como sticky Strike". Por favor, ayúdame a entender cómo el autor ha llegado a esta conclusión.

Answer 1

Intuitivamente, en un modelo de difusión homogénea (log)-espacial $$ S_t \propto S_0, \forall t \geq 0 $$ de tal forma que las volatilidades implícitas sólo dependerán de la dinero nivel y no en el nivel puntual absoluto que es precisamente la definición de delta pegajoso.

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Matemáticamente, consideremos un modelo de difusión homogénea (log)-espacial (sea estocástico o no) $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu(\cdot) dt + \sigma(\cdot) dW_t,\,\,\,S(0) = S_0 $$ donde por (log)-espacio homogéneo queremos decir que los coeficientes de deriva y difusión en el RHS no implican $S_t$ . Como tal:

• un modelo LV no es homogéneo en el espacio, ya que $\sigma(\cdot) = \sigma(t,S_t)$
• un modelo SV à la Heston es homogéneo en el espacio ya que $\sigma(\cdot) = \sqrt{v_t}$ con $v_t$ dada por una SDE separada.

[Relación de homogeneidad] Debido a (log-) homogeneidad espacial tenemos que el precio de una opción vainilla europea es un función homogénea de grado 1 es decir $$ C(\xi S_0, \xi K, T) = \xi C(S_0, K, T), \forall \xi > 0 $$ tal que por el teorema de Euler (es decir, tomando la derivada de lo anterior con respecto a $\xi$ y evaluarlo en $\xi = 1$ ) obtenemos $$ C = \frac{\partial C}{\partial S_0} S_0 + \frac{\partial C}{\partial K} K $$

[IV pegajosidad (1/2)] Consideremos un modelo de difusión homogéneo en el espacio con parámetros $\Theta$ . La superficie de volatilidad implícita correspondiente es la cartografía \begin{align} \Sigma &: (S_0, K, T) \to \Sigma(S_0,K,T) \\ \text{such that } & C(S_0,K,T;\Theta) = C_{BS}(S_0, K, T; \Sigma(S_0,K,T)) \end{align} donde $C_{BS}(.)$ es la fórmula Black-Scholes para la fijación del precio de una opción de compra europea.

Dada la homogeneidad espacial del modelo, acabamos de demostrarlo: $$ S_0 \frac{\partial C}{\partial S_0}(S_0,K,T;\Theta) + K \frac{\partial C}{\partial K}(S_0,K,T;\Theta) = C(S_0,K,T;\Theta) $$ Introduciendo la definición de volatilidad implícita anterior se puede escribir (regla de la cadena) $$ S_0 \left[ \frac{\partial C_{BS}}{\partial S_0}(S_0, K, T; \Sigma) + \frac{\partial C_{BS}}{\partial \Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0,K,T) \right] + K \left[ \frac{\partial C_{BS}}{\partial K}(S_0, K, T; \Sigma) + \frac{\partial C_{BS}}{\partial\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0,K,T) \right] = C_{BS}(S_0, K, T; \Sigma) $$

Denotando la Vega Black-Scholes por $\nu$ y observando que el modelo Black-Scholes es a su vez homogéneo en el espacio, se obtiene \begin{gather*} S_0 \left[ \frac{\partial C_{BS}}{\partial S_0}(S_0, K, T; \Sigma) + \nu \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0,K,T) \right] + K \left[ \frac{\partial C_{BS}}{\partial K}(S_0, K, T; \Sigma) + \nu \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0,K,T) \right] = C_{BS}(S_0, K, T; \Sigma) \end{gather*} O, lo que es lo mismo, reordenando los términos: \begin{gather*} \nu \left[ S_0 \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0,K,T) + K \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0,K,T) \right] + \underbrace{S_0 \frac{\partial C_{BS}}{\partial S_0}(S_0, K, T; \Sigma) + K \frac{\partial C_{BS}}{\partial K}(S_0,K,T;\Sigma) - C_{BS}(S_0, K, T; \Sigma)}_{=0 \text{ (BS space homogenenity) }} = 0 \end{gather*}

tal que la siguiente relación se cumple para todos los modelos homogéneos en el espacio \begin{equation} \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0,K,T) = -\frac{K}{S_0} \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0,K,T) \end{equation}
lo que es coherente con un comportamiento de dinero rígido (= delta rígido), véase más adelante.

[IV pegajosidad (2/2)] Una superficie de volatilidad implícita de dinero rígido (= delta rígido) es tal que $$ \Sigma(S_0+\delta S_0, K, T) = \Sigma(S_0, K^*, T) $$ siempre y cuando, como su nombre indica, estemos trabajando iso-dinero, es decir, que $$\frac{K^*}{S_0} = \frac{K}{S_0+\delta S_0} \iff K^* = K(1 + \delta S_0/S_0)^{-1}$$

En tales circunstancias, \begin{align} \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0, K, T) &= \lim_{\delta S_0 \to 0} \frac{\Sigma(S_0+\delta S_0, K, T) - \Sigma(S_0, K, T)}{\delta S_0} \nonumber \\ &= \lim_{\delta S_0 \to 0} \frac{\Sigma\left(S_0, K(1 + \delta S_0/S_0)^{-1}, T\right) - \Sigma(S_0, K, T)}{\delta S_0} \nonumber \\ &= \lim_{\delta S_0 \to 0} \frac{\Sigma\left(S_0, K(1 - \delta S_0/S_0), T\right) - \Sigma(S_0, K, T)}{\delta S_0} \nonumber \\ &= \lim_{\delta K \to 0} \frac{\Sigma\left(S_0, K-\delta K, T\right) - \Sigma(S_0, K, T)}{\frac{S_0}{K}\delta K} \nonumber\\ &= -\frac{K}{S_0} \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0, K, T) \end{align} que es la relación derivada de la homogeneidad de precios que hemos encontrado anteriormente.