la propiedad de markov para la ecuación diferencial estocástica

Question

Supongamos que la ecuación estocástica： \begin{ecuación*} d X(u)=\beta(u,X(u))d u+\gamma(u,X(u))d W(u). \end{ecuación*} Supongamos que $X(T)$ es la solución de arriba estocástica de la ecuación diferencial con la condición inicial $X(t)=x$ y $h(x)$ es Borel medible de la función. Denotan por $$g(t,x)=E^{t,x}h(X(T))$$ Asumimos $E^{t,x}|h(X(T))|<\infty$

Deje que $X(u)$ es la solución de arriba estocástica de la ecuación diferencial con la condición inicial dada en vez de $0.$

El uso de la markov property de $X(t),$ tenemos $g(t,x)$ s.t $$E[h(X(T))|\mathcal{F}(t)]=g(t,X(t))$$

Mi pregunta es, son los dos $g(t,x)$ mismo? Como queremos usar Feynman-Kac equation, pero no estoy seguro de si es cierto para la primera $$g(t,x)=E^{t,x}h(X(T)).$$ desde la prueba de Feynman-Kac equation de las necesidades de la martingala de $g(t,X(t)),$ pero no creo que aquí $g(t,X(t))$ es martingala?

Answer 1

Aquí, suponemos que \begin{align*} g(t, x) = \mathbb{E}\left(h(X_T) \mediados de X_t = x \right). \end{align*} Tenga en cuenta que, por Shirjaeva, $g(t, x)$ es Borel medible función tal que, para cualquier Borel medible conjunto $A$, \begin{align*} \int_{\{X_t \in A\}} h(X_T) d\mathbb{P} &= \int_A g(t, x) \mathbb{P}_{X_t}(dx), \end{align*} donde $\mathbb{P}_{X_t}(dx)$ es la Lebesgue-Stieltjes medida generada por la función de distribución de $X_t$, esto es, para cualquier Borel medible conjunto $B$, \begin{align*} \mathbb{P}_{X_t}(B) = \mathbb{P}(X_t \B). \end{align*} También puede ser demostrado que (consulte la Página 196 de Shirjaeva, comenzando con indicador y funciones simples, entonces, por el teorema de convergencia monótona, a todas las funciones positivas, y, por la descomposición, a todos los integrable funciones medibles), \begin{align*} \int_A g(t, x) \mathbb{P}_{X_t}(dx) = \int_{\{X_t \in A\}} g(t, X_t) d\mathbb{P}. \end{align*} Es decir, \begin{align*} \int_{\{X_t \in A\}} h(X_T) d\mathbb{P} = \int_{\{X_t \in A\}} g(t, X_t) d\mathbb{P}. \end{align*} En otras palabras, \begin{align*} g(t, X_t) = \mathbb{E}(h(X_T) \mediados de X_t) = \mathbb{E}(h(X_T) \mid \mathcal{F}_t), \end{align*} por la propiedad de Markov. Por otra parte, $\{g(t, X_t), \, 0\le t \le T \}$ es, obviamente, una martingala.