Black-Scholes y fundamentos

Question

Así que básicamente

$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdWt$

y

$\mu=r-\frac12\sigma^2$

Acabo de pensar en esta ecuación posterior. Es muy interesante porque relaciona el tipo sin riesgo, la volatilidad y la deriva de los activos. Siempre me gusta y trato de ver la ecuación desde alguna perspectiva simple, por ejemplo suponiendo que algo es enorme o muy pequeño o 0, y tratando de ver cómo afecta a otras variables. Es un buen enfoque para recordar algunas dependencias.

Así pues, si observamos esta última ecuación, lo primero que hay que destacar es el signo negativo de la volatilidad. Esto está bien cuando se trata de explicar por qué el VIX es un índice de miedo y que a los "inversores" no les gusta que aumenten las volatilidades. Pero el aumento de la tasa libre de riesgo en la teoría macroeconómica se traduce en una mayor demanda de bonos y una disminución de la demanda de acciones, por lo que sus precios caen - este supuesto es bastante real en el mercado actual - cuando los rendimientos de los bonos del Tesoro de EE.UU. suben las acciones bajan y viceversa.

Así que esto no está de acuerdo con este supuesto también fundamental $\mu=r-\frac12\sigma^2$ .

¿Cómo interpreta este hecho?

Answer 1

Creo que estás interpretando demasiado el asunto. En $-\frac12\sigma^2$ es sólo un término de corrección que proviene de La desigualdad de Jensen .

Esto es necesario cuando se pasa de rendimientos supuestamente simétricos ( distribución normal ) al proceso de precios sesgados ( distribución logarítmica normal ).

Creo que no hay verdades más profundas que encontrar aquí.

Answer 2

Hay que tener en cuenta que el mundo de los modelos sin riesgo ni arbitraje no es necesariamente el mundo real. En concreto, esta ecuación

$$ \mu = r - \frac{1}{2}\sigma^2 $$

no se produce porque así se comporten las acciones en la realidad (¡no es así! Para el S&P 500, a largo plazo $\mu$ está más cerca del 6-9%, si no recuerdo mal), sino porque utilizar cualquier otra cifra en la fórmula de fijación de precios crearía arbitraje.