El precio de un simple reclamo contingente

Question

Anteriormente tuve la cuestión (5.11 Tomas de Bjork):
$$ \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}x^2\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}+x = 0 $$ $$ F(T,x) = ln(x^2) $$ Y resolverlo utilizando Feynman-Kac. El PDE da el diferenciales estocásticas $dX=XdW$ para resolver el PDE lo que necesito de $X$ que resuelve el diferenciales estocásticas. Un ejemplo en el libro mostró cómo resolver un diferencial del tipo de arriba y lo hizo dejando $Z=lnX$, calcular el diferencial de $rd$ (que luego se convierte en independiente de Z, que supongo que es el punto), resolver para Z, y, a continuación, para X sólo aumentar la función exponencial con la solución para Z (desde $Z=lnX$). Esta todo salió bien.

Ahora tengo una pregunta teniendo en cuenta la norma BS-modelo donde Im supone derivar el arbitraje libre de procedimiento del proceso para el contingente reclamar $X=(S(T)^{\beta})$, $\beta=const.$

Norma BS-modelo da el diferencial de los $S$, que es de $dS=rSdt+\sigma S dW$. Pensando en la pregunta anterior me dio una oportunidad de hacer como antes. La configuración de $Y=S^{\beta}$, y la computación $dY$ da:
$dY = Y(r\beta +\frac{\beta(\beta-1)}{2}\sigma^2)dt+\sigma \beta Y dW$
para que me haga necesario el $$ Y que resuelve este $dY$. Haciendo lo anterior sin embargo, la configuración de $Z=ln Y$ (con $Z_0 = ln s_0$), computación $$dZ = \frac{1}{Y}dY-\frac{1}{2Y^2}(dY)^2 = dt(\beta r+\frac{\beta(\beta-1)}{2}\sigma^2-\frac{\beta^2\sigma^2}{2})+\beta \sigma dW$$ La integración y la recaudación de la función exponencial, daría la solución $Y$ por $dY$: $ $ $ Y = s_0 exp(\int^T_t(\beta r+\frac{\beta(\beta-1)}{2}\sigma^2-\frac{\beta^2\sigma^2}{2})dt + \int^{W_T}_{W_t}\beta \sigma dW)$$ que luego daría el precio de proceso de $$\pi = s_0^\beta exp[\beta(\beta r+\frac{\beta(\beta-1)}{2}\sigma^2-\frac{\beta^2\sigma^2}{2})(T-t)]$$ Este resultado, de acuerdo con el manual de soluciones es malo sin embargo. Este plazo adicional $\frac{\beta^2\sigma^2}{2}$, que aparece cuando se hace el paso adicional de permitir que $Z=lnY$ y así sucesivamente, pero no puedo entender cuál es la diferencia desde el primer caso y por qué esto no funciona. Por favor, hágamelo saber si algo está claro y Mal tratar de revisar.

Answer 1

Estás haciendo mucho más complicado de lo que tiene que ser. Recuerde que el arbitraje de precio libre está dada por $e^{-r(T-t)}\mathbb{E}(\Phi(S_T))$ (a ser correcta, esto debe estar condicionada a la correspondiente sigma-álgebra. Voy a excluir a los que por su facilidad de escritura). Ahora uso Itos en $\ln(S_t) = X_t$, esto produce que, después de la integración (tenga en cuenta que se integre desde $t$ $T$ en todas las integrales. Veo que usted ha escrito la integral a partir de $W_t$ a $W_T$, esto es incorrecto):

$S_T = S_t \cdot \text{exp}((r-\sigma^2/2)(T-t) + \sigma Z$ donde $Z \in N(0,\sqrt{T t})$.

Ahora insertar esto en la expresión para el precio:

$e^{-r(T-t)}\mathbb{E}(S_T^{\beta})=S_t^{\beta}e^{-r(T-t)+\beta(r-\sigma^2/2)(T-t)}\mathbb{E} e^{\beta Z})=S_t^{\beta}e^{-r(T-t)+\beta(r-\sigma^2/2)(T-t)+\beta^2\sigma^2(T-t)}$

Esto puede reescribir como le gustaría.

Como ya he mencionado anteriormente. Tenga en cuenta que usted integrar desde $t$ $T$ y usted conseguirá:

$X_T - X_t = \int_t^T (...)du + \int_t^T(...)dW_u$. La escritura de la última integral con límites de $W_t$ a $W_T$ es incorrecto!

Espero que esto hace que sea claro para usted! Esta es la manera habitual de precio contingentes reclamaciones, el uso de los inhibidores de la PDE directamente sólo es necesario cuando no se puede calcular el precio analíticamente y se debe aproximar mediante métodos numéricos (puede utilizar Monte-Carlo simultation también, para esto el PDE no se requiere).