La condición de Benveniste-Scheinkman proporciona una derivada que aún depende de la función de valor.

Question

Lo que quiero decir con el título es que a menudo, si tenemos una función de valor como $$V(K,I) = \max_{K',I'} F(K') +\beta V(K',I')$$ las condiciones de primer orden nos darán algo que depende de la derivada de la función de valor, digamos $V_1(K',I')$. ¿Cómo lidiamos con esto? usando la condición B-S para encontrar $V_1(K,I)$, luego avanzándolo un período?

¿Qué pasa cuando $V_1(K,I)$ todavía depende de $V_1(K',I')$? (ver $(*)$ abajo para un ejemplo, si desea saltarse la configuración)

Aquí hay un ejemplo. Tenga en cuenta que los subíndices denotan derivadas, el número en el subíndice es la entrada respecto a la cual estamos tomando la derivada. La excepción a esto es subíndices negativos, como $I_{-1}$, donde el subíndice denota ser un período en el pasado (en el caso de $-1$). Un prime denota un período en el futuro (t+1), y dos primes denotan dos períodos en el futuro.

Volviendo al problema: Tenemos la función de valor $$V(K,I_{-1}) = \max_{I,K'',C}u(C) + \beta V(K',I) \\ \text{ s.t. } C+I \leq f(K) \\ \text{ y } I =K'' - (1-\delta)K' $$ Básicamente tenemos un modelo simple con inversión que tarda dos períodos en construirse. $f(K)$ es nuestra función de producción.

Las FOC's dan $$ u_1(c) = \lambda_1 \text{, $\lambda_1$ es el multiplicador de la primera restricción }\\ \lambda_2 = 0 \text{ el multiplicador de la segunda restricción es cero} \\ \beta V_2(K',I) = -\lambda_1 $$ Ahora, para obtener $V_2$ usamos la condición B-S, que da $$V_2(K,I_{-1}) = \beta V_1(K',I)$$ porque $K' = I_{-1} + (1-\delta)K$ de la segunda restricción. Usamos la condición BS nuevamente y obtenemos $$V_1(K,I_{-1}) =f_1(K) + (1-\delta)V_1(K',I) \tag{*}$$, nuevamente, porque $K' = I_{-1} + (1-\delta)K$

La ecuación anterior es mi pregunta Para reiterar, usamos la condición B-S para encontrar la derivada de la función de valor, pero en $(*)$ la condición B-S depende de lo que estamos tratando de encontrar. ¿Cómo manejamos esto?

Siento que $V_1(K'I)$ puede ser simplemente $1$ o $0$, pero luego eso haría que $V_2$ sea $\beta$ o $0$, lo cual parece incorrecto...

Answer 1

Supongo que proporcionaré una respuesta básica por ahora, ya que más o menos lo entendí, y con suerte alguien publicará una respuesta más completa, o agregaré más a esto más adelante.

Básicamente, podemos utilizar iteración hacia adelante o hacia atrás. Por ejemplo, para la iteración hacia adelante (dado que conocemos el valor de $V_1$ en $t=0$, llamémoslo $V_{initial}$), entonces podemos usar esto para encontrar el valor de $V$ en el tiempo $t$ simplemente utilizando la ecuación una y otra vez. O podemos trabajar hacia atrás, si por alguna razón la iteración hacia adelante no funciona (en este momento no estoy seguro de por qué/cómo es diferente de la iteración hacia adelante). No creo que la solución sea muy limpia, pero funciona.

O, si estamos en un estado estacionario, entonces $V_1(K,I_{-1}) = V_1(K'_I)$, por lo que simplemente podemos reorganizar la ecuación y resolver.

Nuevamente, esta no es una gran respuesta, pero es correcta.