Cómo calcular el valor esperado condicional de un movimiento browniano geométrico?

Question

Estoy trabajando en un proyecto y tengo que usar la acumulada y el valor esperado condicional de las variaciones de una acción después de un Movimiento Browniano Geométrico.

Sé que el acumulado es el siguiente : $$ \mathbb{E}\left[ \mathbb{1}_{ \frac{S_{i+1}}{S_{i}} < z}\derecho] = \mathbb{P} \left[ \frac{S_{i+1}}{S_{i}} < z \derecho] = \Phi\left(\frac{\log(z) - (r- \frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i)}{\sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}}\derecho) $$

$\Phi$ siendo la distribución normal estándar acumulativa de la función.

Pero no pude encontrar la expresión de la condicional valor esperado : $$ \mathbb{E}\left[\frac{S_{i+1}}{S_i} 1_{\frac{S_{i+1}}{S_i}<z}\derecho] $$

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} E\bigg(\frac{S_{i+1}}{S_i}\mathbb{I}_{\frac{S_{i+1}}{S_i} < z}\bigg) &=zE\bigg(\mathbb{I}_{\frac{S_{i+1}}{S_i} < z}\bigg)-E\bigg(\Big(z-\frac{S_{i+1}}{S_i}\Big)\mathbb{I}_{\frac{S_{i+1}}{S_i} < z}\bigg) \\ &=zP\bigg(\frac{S_{i+1}}{S_i}<z\bigg)-E\bigg(\Big(z-\frac{S_{i+1}}{S_i}\Big)^+\bigg). \end{align*} A continuación, puede calcular la expectativa de uso de la opción put fórmula de fijación de precios.

Alternativamente, se nota que \begin{align*} \frac{S_{i+1}}{S_i} &= e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i) + \sigma (W_{t_{i+1}}-W_{t_i})}\\ &=e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i) + \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i} \xi}, \end{align*} donde $\xi$ es una variable aleatoria normal estándar. Entonces $\frac{S_{i+1}}{S_i}<z$ es equivalente a \begin{align*} \xi <\frac{\ln z-(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i)}{\sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}}. \end{align*} Vamos \begin{align*} d_2 = -\frac{\ln z-(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i)}{\sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}}. \end{align*} Entonces tenemos que \begin{align*} E\bigg(\frac{S_{i+1}}{S_i}\mathbb{I}_{\frac{S_{i+1}}{S_i} < z}\bigg) &= \int_{-\infty}^{-d_2}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i) + \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i} x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ &=\int_{-\infty}^{-d_2}e^{i(t_{i+1}-t_i) }\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\big(x - \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}\big)^2}{2}}dx\\ &=\int_{-\infty}^{-d_2- \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}}e^{i(t_{i+1}-t_i) }\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ &=e^{i(t_{i+1}-t_i) }\Phi(-d_1), \end{align*} donde \begin{align*} d_1 = d_2+ \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}. \end{align*}

Answer 2

Lo que se busca es el parcial expectativa de $\frac{S_{i+1}}{S_i}$. Dado que $\frac{S_{i+1}}{S_i}$ es lognormally distribuido, puede utilizar el siguiente resultado:

Para una variable aleatoria lognormal $X \sim LND(m,v^2)$, $$ E(X | X < z) = E[X] \Phi\left( \frac{\log(z)-m-v^2}{v} \right) $$ En su caso, $m = (r-\frac{1}{2}\sigma^2) (t_{i+1}-t_{i})$, $v^2 = \sigma^2 (t_{i+1}-t_{i})$, y $E[X] = S_i e{(r+\frac{1}{2}\sigma^2) (t_{i+1}-t_{i})}$.

Usted puede utilizar el hecho de que $\mathbb{E}[X|X<z] = \frac{\mathbb{E}[\mathbb{I}_{X<z} X]}{\mathbb{P}(X<z)}$ para obtener el deseado de expresión.