¿Es la delta de la opción de compra europea una función creciente del spot?

Question

En la configuración de Black-Scholes, el ratio de cobertura delta de una opción de compra europea viene dado por $N(d_1)$ que es una función creciente del spot de renta variable subyacente $S_0$ . ¿Se mantiene esta propiedad de forma general, es decir, para casos generales en los que la volatilidad puede ser estocástica y puede depender del spot $S_0$ ?

Answer 1

Para homogéneo modelos de difusión (es decir, modelos tales que la distribución de $\ln(S_t)-\ln(S_0)$ es independiente del nivel, por ejemplo, Black-Scholes, Heston, Bates, etc.), esto sí se cumpliría.

Para ilustrar esto, consideremos un modelo de Lévy exponencial para el precio al contado bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ $$ S_t = S_0 e^{X_t},\ \forall t \in [0,T] $$

El precio de una opción de compra que vence en $T$ y golpeó a $K$ en ese caso dice $$ C_0 = C(S_0;K,T) = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ \frac{(S_T - K)^+}{B_T} \right] $$ Ahora, al calcular el delta se obtiene \begin{align} \Delta &= \frac{\partial C_0}{\partial S_0} \\ &= \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ \frac{1\{ S_T \geq K\}}{B_T} \frac{\partial S_T}{\partial S_0} \right] \\ &= \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ 1\{ S_T \geq K\} \frac{S_T B_0}{S_0 B_T} \right] \\ &= \Bbb{E}^\Bbb{S}_0 \left[ 1\{ S_T \geq K\} \right] \\ &= \Bbb{S}( S_T \geq K ) \\ &= \Bbb{S} ( X_T \geq \ln(K/S_0) ) \end{align} De manera que, en igualdad de condiciones, el aumento de $S_0$ aumenta el Delta.

Answer 2

Para el caso general, la primera pregunta es "qué se entiende por delta". Sólo en los modelos de volatilidad local es teóricamente posible una cobertura continua con el spot para replicar el resultado de la opción. Con volatilidad estocástica o saltos, una cobertura al contado no será perfecta.

Una respuesta a "qué es delta" es la derivada del precio de la opción con respecto al contado, manteniendo fijos otros parámetros del modelo. Sin embargo, esto no es natural, ya que depende de cómo se parametrice el modelo. Se pueden cambiar las coordenadas, dando lo que es financieramente un modelo exactamente equivalente, pero la delta definida de esta manera será diferente.

Una solución habitual es mantener fijos los datos del mercado. Hay una cierta calibración del modelo a los datos del mercado que se trata como una caja negra. La delta se define como la variación del precio de la opción (según el modelo calibrado) con respecto a la variación del spot cuando los demás datos de mercado de la calibración se mantienen fijos.

Una tercera posibilidad es definir delta como el ratio de cobertura que produce la mínima varianza (según el modelo) para el precio de la opción cuando el spot se mueve una cantidad infinitesimal. En este caso, cuando los movimientos del spot y del vol están correlacionados, se supone que el vol se mueve cuando el spot se mueve de acuerdo con esa correlación.

Una cuarta posibilidad, específicamente en el caso de las opciones vainilla, es utilizar el delta según el modelo Black-Scholes para la volatilidad implícita de la opción en cuestión. De este modo, cuando se valora que diferentes opciones tienen diferentes volatilidades, como en el caso de un modelo de volatilidad estocástica, el delta utilizado es el del modelo Black-Scholes con diferentes volatilidades para diferentes strikes y vencimientos.

En el caso del modelo de volatilidad local, donde existe una cobertura exacta al contado, la respuesta a la pregunta es "sí". La delta es la probabilidad, según la medida del activo, de que la opción de compra termine en el dinero, y esta probabilidad aumenta monotónicamente con el nivel de contado.

Para otros casos, dependerá de la definición de delta. Para mí, ¡hay demasiadas posibilidades!